[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법
개념을
통해 무엇을 배워야 할까?
안녕하세요, '수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다.
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 다뤄보고자
합니다.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다.
'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다.
그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다.
대체
무엇이 문제인가요?’
1.
개념에
사용된 논리는 무엇인가!
문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다.)
가령,
등차수열
{an}의
일반항이
an=a1+(n-1)d
(a1:첫째항,
d:공차)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다.
하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요.
등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의 n번째
항을‘결정하는
요소’가
무엇인가로 요약될 수 있습니다.
물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이‘첫째항과
공차’입니다.
즉,
3, 5, 7, 9, 11, …
과
같은 수열의 100번째
항을 알고 싶다면
3+2·0,
3+2·1,
3+2·2,
3+2·3,
3+2·4,
…
과
같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다.
∴ a100= 3+2·99
2.
그
논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가!
사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라
다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다.
이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다.
그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요..
2011학년도
수능 (오답률
50%)
2이상의
자연수 n에
대하여 집합 {3(2k-1)
|
k는
자연수,
1≤k≤n}의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 S라
하고,
S의
원소의 개수를 f(n)이라
하자.
예를
들어,
f(4)=5이다.
이때,
f(2)+f(3)+…+f(11)의
값을 구하시오.
[4점]
Sol》우선,
3(2k-1)꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들(2k-1)의
합과 같습니다.
(예)
31×33=31+3)
이때, 예시로 주어진
f(4)의
값이 왜 5가
되는지 분석해 봅시다.
f(n)의
규칙성이 존재한다면 f(4)일
때의 규칙성이 f(2),
f(3), …,
f(11)일
때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다.)
n=4일
때,
3(2k-1)꼴에서
지수의 값만 적어보면
1, 3, 5, 7
인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가 5가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을 n이
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요?
그 길이 잘 보이지
않는다면,
앞서
설명한대로 첫째항이
1이고
공차가 2인
등차수열
{2k-1}을
그 결정요소로 나타내 봅시다.
즉,
1+2·0,
1+2·1,
1+2·2,
1+2·3
이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(2+3)
공차가
항상
2이고
항의 개수가‘(2+3)’인
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다.
같은
방식으로 n=m이면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(m-2 + m-1)
이므로
공차가 항상 2이고
항의 개수가‘(2m-3)’인
등차수열이 만들어지게 됩니다.
∴ f(m)=2m-3
따라서
구하는 값은 1부터
연속된 10개의
홀수의 합을 나타냅니다.
∴ f(2)+f(3)+…+f(11)=102
문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다.
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다.
이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다!
~ 읽어주셔서 감사합니다 ~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
2406 백분위 83 2409 백분위 95 2411 백분위 89 2506 백분위...
-
영어 23등급 0
9모 79 9덮 89 맨날 이렇게 점수변동이 큰것같아요 2등급 목푠데 기출분석을...
-
나는 딱 이거였음 “나는 사람은 안 바뀐다고 생각하는데 너가 그 생각을 바꿨다” 걍...
-
어싸1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18...
-
참고하고 싶습니다
-
정시 원서 올해 처음 써보는데,, 최종 수능 70퍼센트 컷은 추추추추합을 말하는...
-
소신발언 2
대신손녹음 엌ㅋㅋ
-
중고딩때는 로망이었는데 사실 친구없어서 못간거 맞음
-
. 0
-
들갈까
-
개인적으로도 윤통 교육정책에 대해선 좀 반대임
-
문제를 어떻게 푸는지는 아는데 시간이 너무 오래 걸려서 실전에선 76-84점이에요...
-
수학 감다뒤 1
어떡하지?
-
질문 받아볼까 11
궁금한게 잇으신가용
-
한지 실모는 0
하루에 몇개씩 치는게 정상인가요 그냥 1일1실모하면서 이만복 슥슥 돌려보려고 하는데...
-
수학 푼거 정리 14
2023 뉴런 5회독은 한듯 기출어시스트 수분감 배성민 드리블 수1, 수2, 미적...
-
초창기 물바의 향이 난다
-
이재명 조국 대통령 당해봐야 정신차리지
-
시즌2보다 맛있나요
-
뻘글만 쓸거야
-
"숭배해라"
-
인강패스랑 여러과목쌤들 교재랑 모의고사랑 이런거 전부 다 해서요 평균치가 어느정도일지 궁금합니다
-
롤계정 잠가놨더니 부계로 솔랭 돌리는 삼수생을 뭐라고부름? 4
시발 하..
-
수학황들 이거좀 9
이거 치환이랑 그래프 그려서 말고 대수적으로는 못푸나
-
혼자 다니니까 외로워요..
-
막 3등급이런데서 정체되는 경우도 있나 막 2년씩?
-
19년 살면서 뭐 하나 이룬 게 없네 내 인생 이대로 괜찮은가...
-
좀만 공부하면 오후 6시 이럼… 마법같음
-
국어 2중 ~ 3초중 수학 높2 ~ 3극초 영어 1 탐구 1 1 성공하면 서성한...
-
국어 어이없는 실수 줄이는데에 실모 풀고 오답노트 적는게 도움이 될까요?
-
생2 킬러는 0
특히 복추, 코돈은 예전만큼 어렵게 나오진 않겠죠? 수완에는 복추하고 제효 복잡한거...
-
사진은 강대 k 본 성적이고, 올해 6,9 평가원은 둘다 3등급, 이감 2~3초...
-
9,10,19 42점. 문제진짜 잘냈네 작수끝나고 공부 거의안한거 치곤...
-
최고난도 과학 지문, Crash course로 대비하기 0
안녕하세요 독서칼럼에 진심인 타르코프스키입니다. 혹시 Crashcourse를...
-
나만 안 외우나ㅜㅜ
-
무서움 3
모의고사 운영 연습을 그렇게 많이 했음에도 불구하고 내 실력은 분명 이것이 아님에도...
-
Fx가 0이랑 2에서 0이 되는데 불연속인거 아닌가요? 잘 이해가 안되서요..
-
명곡 중의 명곡
-
한번 망생 테크 타니까 이것도 벗어나기가 쉽지 않네여
-
이감 국어 오프 모의고사 6-4 답 번호 알려주세요.. 답지 잃어버렸습니다ㅠ 이모...
-
어떰?
-
진지함
-
인스타 릴스 뜨면 죽여버리고싶음 ㄹㅇ 지만 시험전날 영어 수특 n회독했냐 지만 수능...
-
출출~허이
-
막 ‘ㅎㅂ여중딩 가슴‘ ’ㅎㅂ여중딩 레전드‘ 이런 제목.. 커뮤에 다른 글들은 다...
-
님들은 몆번해봄
잘 읽었습니다 유용하네요
이좋은글에 왜 댓글이없죠?ㅠㅠ 감사합니다 잘읽었어요!ㅎㅎ
그래도 알아보시는 분들이 있어서 다행입니다ㅎ
ㅠㅠ앞으로도 학습관련 게시물 많이 올려주세요~~꼭꼭 챙겨볼게요!ㅎㅎ
스크랩 ~~~~~
출처만 정확히 ~
굿굿굿굿굿!
이런 게시글의 논지를 담고있는 책 추천 좀 해주세요..
오르비 북스(Books)에 있습니다.
좋은글 잘 읽었습니다!!!
정말정말 좋은글입니다.
수능수학은 이 글안에 해법이 다 있다고 해도 될듯하네요