부정적분과 정적분
그냥 간단하게 교과서 한번 읽어봅시다.
작년까지는 정적분을 급수로 정의했어요. 이때 조건으로
'f(x)가 연속일 때'라고 전제를 달았죠. 그래서 피적분함수가 무조건 연속이라는 결론이 나왔어요.
올해는 좀 정적분에 대한 정의가 달라졌군요. 먼저 부정적분의 정의부터 봅시다.
교과서에서는 부정적분을 미분의 역연산 으로 정의하는군요.
이후 기호와 적분상수를 정의합니다.
교과서에서 부정적분을 구하는 방법을 좀 불친절하게 알려줘요.
A를 미분하면 B니까 B를 적분하면 A이다....
수2 범위에서는 다항함수만 다루니 괜찮은데 미적분으로 넘어가면 알고있는 대부분의 함수를 미분할 수 있지만 알고있는 대부분의 함수를 적분하는게 굉장히 불쾌(?)하죠.
부정적분에선 함수의 합,차,실수배를 분리하여 계산할 수 있다고 알려져있어요. 함수의 극한에 대한 성질과 비슷하지만 곱과 몫은 쪼갤 수 없죠.
이는 나중에 정적분에서도 동일한 성질을 가지게 됩니다.
또 곱과 몫은 이후 치환적분과 부분적분을 배우며 해결하게 됩니다.
그리고 바로 정적분을 정의합니다. 올해부터는 정적분을 이렇게 정의한다고 해요.
역시나 f(x)가 연속이라는 전제가 들어갑니다.
정적분은 부정적분의 변화량 으로 정의하네요.
조금 더 생각해본다면 교과서에서 정적분의 값을 구하기 위한 수단 중 《부정적분을 구하여 그 차이를 판단한다》가 가장 기본이 된다고 볼 수 있겠네요.
다음으로 적분과 미분의 관계를 정리해줍니다.
어! 신기한게 보이는군요. 이거 부정적분의 정의와 똑같지 않나요?
겉모습은 정적분처럼 보이지만, 여러분은 이 함수를 부정적분이라고 인식하시는게 문제를 풀 때 편할거에요. 정말 간단하게 생각해보면 부정적분은 함수이고 정적분은 함수의 차, 즉 값이라고 생각할 수 있죠.
정적분에는 성질이 하나 더 있습니다.
정적분의 정의를 떠올린다면 증명은 쉽게 하실 수 있을거에요. 너무나도 당연하고 자주 사용되는 성질인데 정작 문제를 만났을 때 제대로 사용하지 못하는 경우가 많더라고요. 이 성질이 그대로 대학의 논술 제시문에도 종종 나옵니다. 머릿속에 꼭 넣어두고 다닙시다.
교과서 재밌어요 읽어봐요
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선서
선좋후경이제 등적 개념이 없으니 리만 적분을 도입해도 문제 없을....
아니다 이 악마야근데 배우는 사람 입장에서는 더 빡세진 것 같아요. 기존에 배운 시그마 개념을 극한으로 보낸 거라는 이해보다는 그냥 '미분하는 거 역으로 생각해보니, 이게 적분이라는 거야!' 이 관점은 절름발이 교육 같다는 생각이...
이런 정의가 수학적으로 무슨 의미가 있는건지는 잘 모르겠지만..의대를 오니까 그 이후를 안배우더군요
근데그럼 불연속함수의 적분도 나올수 있는건가요..?
절대 안될겁니다. 적분의 정의를 보시면 전부 피적분함수의 연속을 전제하고 있어요. 적분가능성은 엄연히 교육과정 밖입니다
아 그쵸? 맨처음에 이전 교육과정에서는 피적분함수의 연속성이 보장됐다고 그 후 언급이 없으셔서 혹시나.. 했죠
노린거에요 그런거 한번쯤 생각해보시라구..ㅎ161130에서도 대놓고 물어보죠
191030 정도가 마지노선일듯
미분의 역연산이라
좀 더 일반화되었네요
그쵸 배우는 입장에선 더 간단한 느낌도 있고
과외하삼
f(g(x))를 미분하면 왜 f'(g(x))g'(x)인가오
아니에요 x'(g(f))f'(g)입니다문과수학에서 구분구적법 왜 뺐냐고 ㄹㅇㅋㅋ 애들 이해시키기 더 빡세졌네