[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 
일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 
에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 
일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 
에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는 
일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 
에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이 
일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서... 
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
프사바꿀까 0
얘가 제 최애캐이긴 한데 뭔가 프사 바꾸고싶다는 욕망이 들 때가 있음
-
나 ㅈ되는건가
-
지금이랑 똑같으면 기하해야겠다..
-
난 물1꿀과목 바이럴당해서 진짜 물1이 꿀인줄 알았음 2
이런미친새끼들아!!!!
-
일찍 자야지 2
미인은 잠꾸러기 는 농담이고 그냥 몸에 힘이 없음
-
기하할까 3
이건기하가맞다
-
어떻게 했어도 씹 goat학교인데
-
일단 제목 어그로 죄송하구요. 근데 순수 어그로까진 아니니 화내진 마시구요. 원래는...
-
기하가 체질이면 3
미적하는것보단 나을수도
-
[LoL] 2025 T1 Uniform Jersey 품절 2
- 도란 전사이즈 품절 - 오너 S, M 품절 - 페이커 S, M 품절 - 구마유시...
-
그래야 합법 재르비하는 걸 볼테니까
-
확통 3
고1 경우의수 완벽하게 할줄알면 그냥 다 끝인가요? 고1꺼하는데 ㄹㅇ 돌겠음......
-
국어는 재수때 6 9 수능에서나 그나마 인간구실 했고 수학은 3수 수능 가서야...
-
화1 바이럴 보다보면 13
화1 마려워짐 진짜 이만한 꿀과목 없는거 같은데 ㅜㅜ 당장 해야겠다
-
-
이 좋은걸 왜 모르지
-
심찬우T 생글 업로드 일정 어떻게 되는지 아시는분 댓글 부탁드립니다
-
전제1) 3등과 4등 사이 저 간격에 사람이 있더라도 전부 설대로 빠진다고 가정함...
-
[시작하기 전에 원문 주소 첨부 먼저 하겠습니다.]...
-
성대 인과계 0
645.3 추합 ㄱㄴ?
-
어떤 걸 받아가라 한다 내가 해봤는데 안됐다고 사기라고 한다 옆에 있는 직원한테...
-
-
돌고도는 3
물레방아
-
하…
-
제발 ㅠㅠ
-
지랭이
-
레전드 인생
-
감귤맛 요플레+블루베리. 감귤향이 은은하게 나면서 블루베리의 톡톡 터지는 식감 +...
-
앙망
-
이거 어떻게 쌓고 어디다 써먹을 수 있나용
-
이번에 더 좋은 대학에 가기 위한 도약일뿐 한양대 논술 기억하고 있겠다
-
붙여주세요 ㅜㅜ
-
-1등급, 받아들일 수 없는 2등급은 풀 필요 없음.—>바로 4규 시즌1으로…....
-
수학만잘봤으면 0
에휴 작년보다 훨씬 잘볼줄 알았지만 작년보다 훨씬 쳐망했네 수학만 잘봤으면 성대는 됐을텐데
-
국어를 잘하기 위해선 '뇌'를 키워야 합니다. 국어 실력과 독해 실력을 향상시키기...
-
앙 기모찌ㅋㅋ앙 기모찌ㅋㅋ앙 기모찌ㅋㅋ앙 기모찌ㅋㅋ앙 기모찌ㅋㅋ앙 기모찌ㅋㅋ앙...
-
난 과탐을 해봤어요!!
-
2점인가 3점인가 몰?루
-
메가 환급 조건 0
모의,수능 다 입력했었고 모의지원도 다 했는데요 합격한 학교의 합격증만 가지고...
-
실권이있는건아니라도 옯당도 만들고 걍 지역구 옯회의원하나씩 뽑고 지역별로 당협위원장도 있고
-
시대컨 플로우 숏컷 전 숏컷 난도가 개애애애높아서 플로우를 더 좋아하긴함 둘 다...
-
나같은사람있음? 11
+1결과 국어수학 다 떨어짐 ㅁㅌㅊ?
-
점공 6명 남았는데 4등이 508이네요 추합 생각하면 504로 써볼만도 했나 싶어서 아쉽..
-
에휴다노...
-
??
-
메가 숭배하라 5
ㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅㅅ진짜 찬양함 대 메 가 아니...
-
이런거 풀려면 입체도형 특징 다 외우고 있어야해요? 수능특강엔 입체도형 종류도 안알려주던데 ㅜ
-
22도 멸종위기종인데 19는 없어야만함...
-
내일들어오겠지만 ㅈㄴ빡치네..ㅠㅠ
-
샴푸와 바디워시로 인한 환경오염이 줄어듦
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^