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어피니티 [1339220] · MS 2024 · 쪽지

2025-01-27 01:48:38
조회수 738

심심한 기출분석 (230615)

게시글 주소: https://roomie.orbi.kr/00071592948

이 문제를 통해 2가지의 배울만한 마인드가 있습니다.

1) 수능 문제
수능 문제는 수능의 소요시간과 난이도에 알맞은 적절한 규모의 문제를 설계해서 만든다는 것입니다.
풀 수 없는 문제를 출제하지 않습니다. 어떻게든 문제를 풀 방법이 있다는 걸 기억해줘야 해요.

2) 작은 문제를 먼저 풀자

주어진 문제보다 더 작은 문제가 무엇일까 생각해보고 거기서부터 문제해결의 실마리를 찾으려 하는 겁니다.
수학에도 실험이 있고, 문제가 풀리지 않으면 실험을 진행해봐야합니다. 그럴 때 사용할만한 많은 실험방법 중 한가지입니다.

3) 문제 확인

수열에 대한 기본적인 정보를 확인해보면, 한 번 같은 항이 나오면 수열이 주기를 갖고 반복한다는 것입니다.

그 외에는 모르는 수열이니 조금 나열해봅시다.



여기서 처음으로, k=1일 때와 그보다 클 때를 나눌 상황이 온다는걸 알 수 있습니다.

많은 문제를 풀어 정말 훈련이 잘 된 상태라면, 사실 이 시점에서 이미 수열에 대한 판단을 끝낼 수 있습니다만,, 그리 쉬운건 아니겠죠.

여기서부터 경우를 나누기 시작한다면, a_22까지 가는 과정에서 경우를 얼마나 나누게될 지 막막한 심정이 들 수 있습니다. 그 과정을 전부 다 한다면 문제를 시간 안에 풀어내기가 매우 힘들어지겠죠.

그러나 위에서 말했다시피 문제는 적절한 시간 안에 풀리게 되어있습니다. 작은 문제로 실험을 진행해봅시다.

I) k=1.



II) k=2.


III) k=3.



즉, 수열은 주기가 2k+1인 주기수열임을 알 수 있고, 따라서 2k+1로 나눈 나머지가 1인 항이 0이 됨을 알 수 있다.
즉, 22를 2k+1로 나눈 나머지가 1이여야하므로, 2k+1=1,3,7,21. => k=1,3,10임을 알 수 있다.

4) 문제의 출제원리


이제 이 문제가 어떻게 만들어졌는지 알아보자아

문제는 결국 0으로 시작하는 주기수열을 만들고 싶엇던 것이다.

0<a<b인 a,b를 생각하자.

 0,a,a-b,2a-b,2a-2b,...,0 (0이 처음으로 나온 시점)으로 a와 b를 더햇다 뺏다 반복하는 수열을 생각하자.

이 때 a-b, 2a-2b, 3a-3b, ... 등등의 홀수항들은 절대로 0이 될 수 없다.


짝수항들만 따로 빼서 관찰해보면,

a, 2a-b,3a-2b. 로 공차가 (a-b)인 등차수열을 이룬다.


일반항을 작성해보면 즉, (a-b)n+a라는 감소하는 직선이다.

n이 자연수일 때 (a-b)n+a가 0이기만 하면 원하는 수열을 만들 수 있다. (직선은 계속 감소중이다)

n=a/(b-a)가 자연수이면 되겟다. 그 방법들 중, a=1/(k+1), b=1/k.을 채택한 것이다.

5) 변형

4번을 잘 보면 간단하게 문제를 어떻게 변형할 수 있을 지 생각해볼 수 있다. (직접 해보기)

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