Convergence of the limit set
Proposition. Let $\Gamma_i$ be a sequence of isomorphic quasi-Fuchisan groups which converge geometrically to a group $\Gamma_G$. (In modern terms, $\Gamma_i$ is an element of $AH(\pi_1(S))$ for some surface $S$) Suppose that there is a $\delta>0$ such that the limit set $\Lambda(\Gamma_i)$ is not contained in a disk of radius $\delta$ on $S^2$. Then $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma_G)$ in a Hausdorff topology of $\hat{\Bbb C}$.
여기서 $\Gamma_i$들이 서로서로 isomorphic하다는 것을 빼면 반례가 존재하는데, Kleinian group의 residual finiteness에 의해서, 임의의 Kleinian group $\Gamma_0$가 있으면, $\Gamma_0>\Gamma_1>\Gamma_2\cdots$ 가 되는 sequence of finite indexed subgroup 이 존재하고, 이 sequence의 geometric limit은 trivial group이 된다.
만약 quasi-Fuchsian group들 $\Gamma_i$가 algebraically convergent 하면, limit group도 non-elementary하기 때문에, 가정인 $\Lambda(\Gamma_i)$가 어떤 $\delta$-disk in $S^2$에 들어가지 않는다는 가정을 만족한다. 따라서, algebrically convergent하는 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$들에 대해서, $\Gamma_i\to G$가 geometrically convergent 하다면, $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma)$ in Hausdorff topology가 된다.
Proof of proposition. 증명에 아주 crucial하게 적용되는 내용이 있는데 그걸 먼저 서술하겠다.
$$K_{\Gamma} = \{x\in\Bbb H^3\mid d(x,\gamma x)<K,\text{ for some nontrivial }\gamma\in\Gamma\}$$
여기서 $d$는 hyperbolic metric이라고 한다면, 어떤 constant $K$가 존재해서, 모든 quasi-Fuchsian groups isomorphic to $\Gamma$에 대해서, convex hull of the limit set $H_{\Gamma}$ (Nielsen convex region 이라고도 한다) 는 항상 $K_{\Gamma}$에 들어가 있다. 다시 말해서, convex core $H_{\Gamma}/\Gamma$는 embedded hyperbolic ball of radius $>K$를 갖지 않는다는 것. (In particular, 만약 주어진 sequence가 있을 때 (quasi-Fuchsian이 아니어도 됨), 그 sequence의 convex core의 injectivity radius에 uniform upper bound가 존재한다면, 우리는 이 증명을 그 sequence에 그대로 적용할 수 있다.)
$\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. 주어진 quasi-Fuchsian group과 isomorphic한 $\Gamma$를 적당히 conjugate을 해서, $H_{\Gamma}$가 $\Bbb H^3$의 origin을 포함하도록 설정한다. 그러면, 임의의 $x\in\Lambda(\Gamma)$에 대해서, 어떤 $y\in H_{\Gamma}$가 있어서, $d_E(x,y)<\epsilon$이 되도록 고를 수 있다. 여기서 $d_E$는 $\Bbb H^3\cup S^2$ 에서의 Euclidean metric을 의미한다. 그러면, $H_{\Gamma}\subset K_{\Gamma}$에 의해서, $\epsilon$을 필요하다면 더 작게 잡아서, 어떤 nontrivial element $\gamma\in\Gamma$가 존재해서, $d(y,\gamma y)<K$가 되고, 따라서 $d_E(x,\gamma y)<\epsilon$을 만족하도록 잡을 수 있다. 그 이유는 Euclidean metric과 hyperbolic metric의 차이에 의해서 나타난다. 만약 $y$가 충분히 $S^2$에 가까이 가면, hyperbolic metric의 움직임은 Euclidean metric의 관점에서는 움직임이 거의 없기 때문. 더 중요한 것은, 우리는 저러한 $\gamma$의 norm을 그냥 Lie group norm $\mathrm{PSL}_2\Bbb C\subset\Bbb C^4$에서 주어진 $\epsilon$에 대해서 bound를 할 수 있다. 그 이유는, $y$에서 원점 $O$와의 hyperbolic distance는 bounded 되어 있고 origin이 $\gamma$에 의해서 움직이는 것은, $y$가 $\gamma$에 의해서 움직이는 것과 $y$와 $O$사이의 거리에 대한 연속 함수로 표현할 수 있기 때문이다. 원점 $O$가 움직이는 거리를 bound시키는 것은 $\gamma$의 norm을 bound 시키는데, 그 이유는 $O$의 isotropy subgroup은 compact이기 때문.
저러한 estimate은 처음 $K_\Gamma$의 성질만 썼기 때문에, 모든 $\Gamma$와 isomorphic한 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$ s.t. $O\in H_{\Gamma_i}$에 대해서 성립한다. $\Lambda_{\Gamma_i}$ 들이 $\delta$-disk 안에 포함되어있지 않는다는 가정에 의해서, 우리는 $O\in H_{\Gamma_i}$의 estimate의 가정을 만족시키기 위해 conjugate하는 element들의 norm이 uniformly bounded 되어 있다는 것을 알 수 있다. 따라서, 주어진 $\Gamma_i$ sequence에 대해서, $O\in H_{\Gamma_i}$를 모든 $i$에 대해서 만족 시키면서, 위의 estimate이 $\Gamma_i$ 들에게 uniform하게 적용된다고 가정할 수 있다.
Fix된 $\epsilon>0$에 대해서, 만약 $x_j\in\Lambda(\Gamma_{i_j})$가 $x_j\to x$가 된다고 한다면, $x\in\Lambda(\Gamma)$를 보여야 한다. 이 경우에는 위의 uniform estimate에 의해서, $\{y_j\}\in H_{\Gamma_{i_j}}$, $\{\gamma_j\}\in\Gamma_{i_j}$가 존재해서 $d_E(x_j,y_j)<\epsilon, d_E(x_j,\gamma_jy_j)<\epsilon$ such that $\gamma_j$의 norm이 bounded 되는 것을 가정할 수 있다. $\gamma_j$들의 norm이 bounded 되어 있기 때문에, $\gamma_j$는 어떤 nontrivial element $\gamma$로 convergent 하는 subsequence를 잡을 수 있다. Geometric convergence의 정의에 의해서, $\gamma\in\Gamma$다. 만약 $y$가 $y_j$의 accumulation point라고 하면, $d_E(x,y)\leq\epsilon, d_E(x,\gamma y)\leq\epsilon$이 되고, $\epsilon$은 arbitrary했기 때문에 $\Gamma$는 $x$에서 discontinuous action을 주지 않는다. 따라서 $x\in\Lambda(\Gamma)$.
만약 $x\in\Lambda(\Gamma)$라면 우리는 $x$로 converge하는 sequence $\{x_i\}\in\Lambda(\Gamma_i)$를 찾아야 한다. Kleinian group의 element들의 fixed point들의 limit set에서의 density에 의해서, $\gamma_j\in\Gamma$가 존재해서, $\gamma_j$의 fixed point $x_j$가 $x$로 convergent 하게 할 수 있다. 근데 $\Gamma$는 $\Gamma_i$의 geometric limit이기 때문에 각각의 fixed $j$에 대해서, $\gamma_j$로 converge 하는 $\{\gamma_{j_i}\in\Gamma_i$가 존재한다. 각각의 fixed된 $j$에 대해서, $\gamma_{j_i}$의 fixed point $x_{j_i}$가 $x_j$와 떨어진 거리가 $\leq 1/j$ for all large $j>I_j$를 잡을 수 있다. $I_j>I_{j-1}$이 되도록 설정을 하면, $\{x_i\} = \{x_{j_i}\}$, $I_{j+1}\leq i\leq I_j$ 가 원하는 sequence가 된다. $\square$
Rmk. 가정에서의 $\delta$-disk 가정도 중요하지만 그 보다 주어진 sequence의 injectivity radius의 uniform upper bound가 더 중요하다. 그리고 증명에 나온 element들의 norm의 boundedness를 이용해서 uniform estimate을 이용하는 논증은 중요한 정리들을 증명하는데 꽤나 많이 나오는 논증법이다. (e.g. Mumford compactedness theorem)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
쎈, 시발점 이제 2회독 돌리는중이고 한완수도 조금씩 보고있어요 여름방학되면 시발점...
-
1-2등급 친구들 대상으로 수학 칼럼 쓰고 싶은데, 오르비 친구들은 어떤 주제를...
-
올해 입시생들이 05,06인가요? 뉴스에서 하도 인서울 인서울하니까 잘...
-
에휴뇨이 공부하기싫다
-
https://youtube.com/shorts/IBrKKmL_vdI 당연히 설대...
-
ㄹㅇ
-
수잘싶….. 조언부탁드려요ㅜㅜ 사이사이에 다른 문제집도 당근 풀겁니당
-
제가 멋지다 생각한 몸 다 로이더였음 ㅅㅂㅋㅋ
-
윤사 사탐런 8
일단 Lim it 샀습니다 그 이후 커리 조언 부탁드려요 만점 목표이고 고2 내신은...
-
안녕하세요! 새로운 교육의 시작, The-N. EarthCoach입니다. 이번에...
-
슬슬 이해가 가기 시작했다 확실히 상황 복잡도는 물1 압승임
-
아니 왜 보이는 글마다 들어가보면 된다고 그럼?? 안되는데? 전제가 사탐만 하루에...
-
내신 6.x 4
고2 내신 6.x 동생님께서 이제야 정시파이터 공부 해보시겠단다 6점대는 뭐부터...
-
표점 1등 먹고 만점자수가 300이넘음 ㅋㅋ 대충 19,24국어 수준으로 나왔는데...
-
뭔가 특정 글 하나만 숨기는 방법이 있었는데 기억이 안나네
-
콰작
-
의료공백 장기화에 '응급실 비상'…의사들 사직 잇따르며 '파행' 1
국립중앙의료원·속초의료원·순천향천안병원 등 응급실 의사들 속속 떠나 응급실 운영중단...
-
원광대식 반영비가 국어표점+수학표점+과학2개표점합+5+영어 영어는...
-
쪽지부탁드려요 궁금해요
-
유웨이 어플라이 재가입 했는데 학교 정보는 어떻게 되나요? 0
수시 재수 논술 준비 중입니다, 계정 사라진게 정상이라길래 다시 회원가입 했는데...
-
을 벅벅
-
4등급에 걸쳤네 2
분발해야지
-
혼종이라 어디 낄 수가 없네.....
-
그냥 엔제 푸는 것처럼 풀까
-
이거 12번급임?? 17
어려워서 우럿떠
-
국어황분들 도와주세요ㅠ 23
지금까지 국어 인강 들은 적 없습니다(언매제외) 기출은 마더텅으로 했구요 이감...
-
실모 0
국어실모를 감유지용으로 쓰라는데 정말 풀기만 하고 오답은 안하는건가요...ㅜㅜㅠ...
-
이거 병일까요 9
미적분 수분감 스텝2에 가형 30번 깔려있는거 보면 빨리 풀어보고싶고 막 그런데 정상일까요?
-
6모 4 교육청 3 정도 뜨는 고3입니다 지금까지는 기출만 계속 돌렸는데 발전이...
-
7덮 쌍윤 만점 0
교내석차는 특정 두려워 가렸읍니다
-
1등급 애들은 거의 다 풀었다는 거 아님.? 1등급이 4%니까..? 문과라 몰?류
-
ㄹㅈㄷ공하싫 16
크아악
-
N2,O2
-
라고 어머니는 항상 말씀하셨지. 따지고 보면 맞말 같아.
-
야 비 1
당장 그쳐 뚝
-
계산으로 조지는 시험들….. 이게 사문인지 확통인지.. 반대로 개념 낚시 문제는...
-
1. 기출복습하기 2. 수특2회독 진행하기 고민되어요 투자시간이 한정적이라
-
ㅇㅇ. 공부만 하면 아침마다 다리에 고통을 동반한 경련이 옴. 이게 시험해보니까...
-
국영수 시험친다는거같은데 어느정도 봐야 잘본걸까용 6모 122였어요 (국 99 수...
-
41일차
-
양적연구 과정 문제 텍스트 양으로 찍어누르기인가...
-
중경외시이 급 이상의 인서울 상위권 대학 중 사탐런의 최고 성지라는 서강대 정도를...
-
아 춥다
-
중요한건 꺾이지 않는 마음
-
둘중 하나만 쓰는 정시에서 유독심하긴함
-
아주대 컴공 vs 세종대 컴공전 경북대처럼 입결이 최상위권인 대학들만알아서요전...
-
수학백분위가 7만 올라갔으면...ㅠㅠㅠㅠㅠ
-
유형1강 ~ 실모 5회차 까지 244문항 다풀고오답하였습니다 생윤 역시 까다로워...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.