이 map은 각각의 $\partial B_Y$에 속하는 manifold $M$의 ending lamination $\mathcal{E}([M])$을 associate하는 mapping이다. ending lamination $\mathcal{E}([M])$은 클래식한 방법으로는 the limit lamination of the sequence of simple closed curve exiting every compact subset of $M$ 으로 정의할 수 있는데, Thurston의 length function $\underline{\mathrm{length}}_M$을 이용하면, 다음과 같이 정의할 수 있음 (이 논문에서는 ending lamination을 end-invariant라고 함):

Definition (End-invariant). Let $M\in\partial B_Y$ be a point in a Bers boundary. Then its end-invariant $\mathcal{E}(M)$ is the union of all connected geodesic lamination $\lambda$ such that for some $\mu\in\mathcal{ML}_+(S)$ we have

$$\lambda = |\mu|\text{ and }\underline{\mathrm{length}}_M(\mu) = 0.$$

다시 말해서, $M$에 속해있는 모든 unrealizable geodesic lamination들의 union을 말하는 것. Thurston과 Bonahon에 의해서 $\mathcal{E}(M)$은 geodesic lamination이 됨. 한가지 주의점은 우리는 quasi-Fuchsian end의 conformal structure를 생각하고 있지 않고, 오직 ending lamination만 생각하고 있다.

$\mathcal{E}(M)$은 quasi-isometry class $[M]$ of $M$에 대해서 invariant하기 때문에, 위에 map $\mathcal{E}$는 사실 $\partial B_Y/\mathrm{qi}\to \mathcal{PL}(S)/|\cdot |$로 descend할 수 있음. 다시 말해서 우리는 quasi-Fuchsian end의 quasiconformal deformation을 생각하지 않고 오직 ending lamination만 생각하고 end-invariant라고 부르기로 함. 이 map 또한 $\mathcal{E}$로 적기로 함.

먼저 $\mathcal{E}$의 성질에 대해서 서술해보고, 이 map의 연속성의 한계점을 알아보도록 한다.

Theorem 1. Let $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$. The mapping $\mathcal{E}$ is strictly lower-semincontinuous in the quotient topologies on domain and range.

여기서 "strictly lower-semicontinuous" 하다는 의미는 다음과 같음:

For $[M_n]\to [M]$, any limit $\mathcal{E}_\infty$ of $\{\mathcal{E}([M_n])\}$ satisfies $\mathcal{E}_\infty\subset \mathcal{E}([M])$.

Proof of theorem 1. $\mathcal{E}$가 discontinuous하다는 것은 뒤에서 볼 것이고, lower-semicontinuity만 왜 그런지 서술해보기로 한다. 기본적으로 $\mathcal{length}$ function의 연속성 때문인데, 만약 $M_n\to M$ in $\partial B_Y$라고 하고, $\mathcal{E}(M_n) = |\mu_n|$ 이라고 했을 때, 만약 $\mathcal{ML}(S)$에서 $\mu_n\to \mu$라고 한다면, $\mathrm{length}_{M_n}(\mu_n) =0$이고 연속성에 의해서 $n\to\infty$를 하면 $\mathrm{length}_M(\mu) = 0$이 됨. 다시 말해서 $|\mu|\subset\mathcal{E}(M)$. $\square$

Theorem 2. The mapping $\mathcal{E}$ is a surjection onto $\mathcal{EL}(S)$.

여기서 $\mathcal{EL}(S)$는 소위 "ending lamination space" 라고 하는데, ending lamination들을 모아놓은 집합이기 때문. 보통 정의를 measurable lamination들 중에서 filling lamination들을 모아놓은 집합으로 정의할 수 있음. 여기서 포인트는 lamination 자체는 measure를 갖고 있지 않지만, measure를 줄 수 있기 때문에 measured lamination으로부터 나온 것 (쉽게 말해 measure를 forgetting한 measured lamination). 논문에서는 정의를 좀 relatively filling이라는 개념을 이용해서 정의했는데, 좀 더 세심하게 정의했다고 볼 수 있음.

모든 unmeasured lamination $v$는 두개의 부분으로 partition을 할 수 있음: $v = P\coprod E$ 여기서 $P$는 simple closed curve들 (P는 parabolic의 P), $E$는 infinite minimal component들 다시 말해서 각각의 leaf들이 infinite이고 각각의 component에 dense하게 있는 것 (E는 Ending lamination의 E). $v$ 자체는 $S$에서 filling이 아닐 수 있지만, relatively fills $S$라는 것은 모든 component $v'$ of $E$가 만나는 subsurface of $S-P$를 filling하는 경우로 $E$의 component가 그가 만나는 subsurface를 filling하는 경우를 말함.

$\mathcal{EL}(S)$는 quotient of quotient space $\mathcal{PL}(S)/|\cdot |$ 인데, 각각의 unmeasured lamination $v\in\mathcal{PL}(S)/|\cdot |$에 대해서 unmeasured lamination $\hat{v}$을 assigned 한 것을 말하는데, 여기서 $\hat{v}$는 $v$로 부터 minimal set of simple closed curve를 집어 넣어서 $v$가 $S$에서 relatively fill하게 만드는 것. 따라서 $\mathcal{EL}(S)$는 relatively filling하는 모든 unmeasured lamination들을 모아놓은 공간이라고 보면 됨.

Theorem이 말하는 것은, end-invariant로 나오는 lamination들은 모두 $\mathcal{EL}(S)$에 속해있고, 모든 $\mathcal{EL}(S)$의 원소들은 어떤 Bers boundary에 속해있는 manifold의 end-invariant로 나타날 수 있다는 것.

일단 Theorem 2의 첫번째 파트, end-invariant들은 항상 relatively filling lamination들이다 라는 것을 증명:

Lemma 2-1. For any $M\in\partial B_Y$, the end-invariant $\mathcal{E}(M)$ relatively fills $S$.

이 Lemma의 증명은 아주 중요하고 눈여겨봐야 한다. 여기서 메인으로 사용되는 것은 Thurston의 pleated surfaces compactness theorem이다. 어떤 marking $(f:S\to M)\in AH(S)$가 주어졌을 때, $M$에 존재할 수 있는 가능한 pleated surface들을 모아놓은 공간을 $\mathcal{PS}(f)$로 정의. 더 정확히 쓰자면, $\mathcal{PS}(f)$는 모든 pair $(g,X)$로, 여기서 $X$는 $(\phi:S^\circ\to X)\in\mathrm{Teich}(S)$이고, $g:X\to M$은 pleated surface compatible with the marking $f|_{S^\circ}\simeq g\circ \phi$. $\mathcal{PS}(f)$에는 natural 하게 Teichmuller metric으로부터의 topology 그리고 pleated mapping에 대해서 topology of uniform convergence를 줄 수 있다. 다시 말해서, $(g_n,X_n)\to (g,X)$ 라는 것은, marking preserving bi-Lipschitz map diffeomorphism $q_n:X\to X_n$ with bi-Lipschitz constants $\to 1$ s.t. $g_n\circ q_n$가 $g$로 각각의 compact set에 대해서 uniform하게 convergent한다는 것. bi-Lipschitz 말고 quasi-conformal로 대신 쓸 수 있음. 이러한 topology에서 Thurston의 pleated surface compactness theorem은 다음과 같이 서술할 수 있음:

Theorem (Pleated surfaces compact). Let $(f:S\to M)\in AH(S)$ and $K\subset M$ be a compact subset. If $f$ is type-preserving mapping, then the set of all $(g,X)\in\mathcal{PS}(f)$ such that $g(X)\cap K\neq\emptyset$ is compact.

Theorem은 논문의 상황에 맞게 썼는데, 더 일반적으로 쓸 수 있다. 중요한 theorem이니 더 일반적인 원형 버전을 써본다:

Theorem (Pleated surfaces compact). Let $M$ be a hyperbolic 3-manifold, $K\subset M$ be a compact subset and $f:S\to M$ be an incompressible type-preserving mapping. If $\{(g_n,X_n)\}\subset\mathcal{PS}(f)$ such that $g_n(X_n)\cap K\neq\emptyset$ either has a convergent subsequence or $M$ has a finite cover $\tilde{M}$ that fibers over the circle.

보통 $K$는 simple closed curve가 된다. Theorem 2를 증명하기 위해서는 realizable lamination에 대해서 한가지 더 알아야 하는데, 이 또한 Thurston에 의해서 증명됐다:

Theorem (Limits realized). Let $f:S\to M$ be type-preserving mapping and $\{(g_n,X_n)\}\subset\mathcal{PS}(f)$ converges to $(g,X)$. If $(g_n,X_n)$ realize convergent measured laminations $\mu_n\to\mu$, then $(g,X)$ realizes $\mu$.

이제 이 두가지 팩트를 이용해서 Theorem 2가 어떻게 증명되는지 보자:

Proof of theorem 2. $(f:S\to M)\in AH(S)$를 $M$의 marking이라고 하고, $\mathcal{E}(M) = P\sqcup E$로 쓰자. 여기서 $P$는 accidental parabolic들이고 $E$는 infinite minimal component들. 이제 만약 $\mathcal{E}(M)$가 relatively filling이 안된다는 것은, 어떤 connected sublamination $v\subset E$이 있어서, $v$는 어떤 $S-P$의 component $T$에 들어있고, $T$에 nonperipheral simple closed curve $\gamma$가 있어서 $v$의 $T$에서의 implicit partition이 됨. 다시 말해서 $P$에 $\gamma$를 더해서 $\mathcal{E}(M)$은 적어도 $v$가 intersect하는 component에서는 relatively filling 하는 lamination이 되도록 함. $\gamma$는 애초에 $\mathcal{E}(M)$에 없었기 때문에 realizable lamination. 이제 $v$는 measurable lamination이기 때문에, measured lamination $\mu$ s.t. $\mu$의 support가 $v$인 것을 찾을 수 있음. Weighted multicurve의 $\mathcal{ML}(S)$에서의 density를 이용해서, $t_nc_n\to\mu$인 weighted simple closed curve들의 sequence를 찾을 수 있음. $v$가 $\gamma$와 intersection이 없기 때문에, 우리는 $i(c_n,\gamma) = 0$인 $c_n$을 잡을 수 있음. $\gamma$도 realizable하고, $c_n$도 realizable하기 때문에, $\gamma\cup c_n$을 realizing하는 pleated surface의 sequence $(g_n,X_n)\in\mathcal{PS}(f|_T)$를 잡을 수 있음. $f|_T$는 type-preserving mapping이기 때문에 위의 theorem들에 의해서 up to subsequence로 $(g,X)\in\mathcal{PS}(f|_T)$로 수렴하고, $v\cup\gamma$를 realize함. 따라서 $v$는 realizable한 lamination으로 모순. 따라서 $\gamma$는 $v$와 항상 intersect를 하거나 $P$의 원소에 속해야 함. 다시 말해서, $v$는 $S$를 relatively filling함.

우리가 방금 확인 한 것은, 위의 mapping $\mathcal{E}$가 well-defined 된다는 것을 확인한 것. 이제 두번째 파트인 surjectivity를 보여야 한다. 다시 말해서 주어진 relatively filling lamination이 주어졌을 때, 그것을 end-invariant로 갖는 manifold를 찾아야 한다. 이거는 상당히 canonical 한 방법이 있는데, 소위 "pinching deformation"을 하면 된다: $v$가 $\mathcal{EL}(S)$의 원소라고 한다면, 어떤 measured lamination $\mu$가 있어서 그것의 support가 $v$가 된다. $\Pi = P(v)$라고 하고, $E(v) = v_1\sqcup\cdots\sqcup v_k$라고 하자. 그러면

$$S - \Pi = S_1\sqcup\cdots\sqcup S_k\sqcup T_1\sqcup\cdots\sqcup T_s$$

가 되는데, 여기서 $S_j$들은 $v_j$들이 들어있는 component를 말하는 것으로 hyperbolic 3-manifold 입장에서는 degenerate end이고 $T_i$들은 quasi-Fuchsian end에 해당된다. $\mu_j$들을 support가 $v_j$인 $\mu$의 measured sublamination이라고 하자. 우리는 각각의 $j$에 대해서 weighted simple closed curve들 $t_{j,n}c_{j,n}$들로 $\mu_j$를 approximate할 수 있다. $\mu_{\Pi}\subset \mu$를 support가 $\Pi$인 measured sublamination이라고 하자. 이제

$$\xi_n = \mu_{\Pi}\bigcup\left(\coprod_{j=1}^k t_{j,n}c_{j,n}\right)$$

로 정의하자. 다시 말해서 accidental parabolic들과 $n$번째 simple closed curve approximation of $v_j$들의 합집합으로 결국 simple closed curve들의 집합이다. $\xi_n$는 당연히 $\mathcal{ML}(S)$에서 $\mu$로 convergent한다. 자 이제 $M_n\in\partial B_Y$를 $\xi_n$의 support들을 따라서 pinching deformation을 한것으로 하자. 더 자세히 말하자면, $xi_n$의 support에 해당되는 simple closed curve들은 $S$의 pairwise disjoint essential simple closed curve들로 우리는 이걸을 포함하는 $S$의 pants decomposition을 할 수 있다. 이걸 좌표로 Fenchel-Nielsen coordinate을 만든 다음에, $\xi_n$에 해당되는 좌표값을 0으로 보내는 pinching을 한다는 것. 그렇게 하면 모든 $n$에 대해서 $\mathrm{length}_{M_n}(\xi_n) =0$이 되고, 나머지 $T_r$에 속하는 conformal boundary 파트는 deformation에 영향을 받지 않는다. (상기 하자면, 우리는 complete hyperbolic structure를 가정하기 때문에, boundary는 항상 puncture로 생각한다. 다시 말해서 boundary에서의 deformation은 일어나지 않는다.) length function의 연속성에 따라, $\mathrm{length}_{M}(\mu) =0$, 따라서 $\mu$는 $M$에서 nonrealizable하고, 따라서 $|\mu| = v\subset\mathcal{E}(M)$이 됨. 이제 문제는 이것이 $\mathcal{E}(M)$의 전부다라는 것을 보이는 것인데, $\mathcal{E}(M)$가 $S$를 relatively filling하기 때문에, $T_r$파트에 해당되는 부분은 전부 quasi-Fuchsian end라는 것을 보이면 됨. 왜냐면 quasi-Fuchsian manifold에서는 모든 lamination들이 realizable하기 때문에, non-realizable lamination이 존재할 수 없기 때문. 기존의 pinching deformation에 의해서 영향을 받지 않는다는 이유로 여전히 quasi-Fuchsian end라고 말하는건 약간의 비약이 있기 때문에 따로 limit manifold에 대해서 증명을 해야함. 물론 영향을 받지 않는다는 사실이 중요한 이유는 맞음. 이를 위해서, $f:S\to M$을 $M$의 marking이라고 하자.

Claim: The cover $\tilde{M}(r)$ of $M$ corresponding to $f_*(\pi_1(T_r))$ is quasi-Fuchsian.

Proof of the claim: $f_n:S\to M_n$을 $M_n$의 marking이라고 하자. 그러면 $(f_n)_*(\pi_1(T_r))$는 quasi-Fuchsian manifold $Q(W,Z_n)\in QF(T_r)$가 됨. 여기서 $W$는 $T_r$를 바라보는 $M_n$의 conformal end를 말하는 것인데, 앞서 말했듯이 pinching deformation에 영향을 받지 않기 때문에, $W_n$ 대신에 $W$를 쓴 것이고, $Z_n$는 cover로 올리면서 나타난 새로운 quasi-Fuchsian end를 말하는 것으로, $Y$쪽을 바라보는 end에서 파생된 것. 따라서 $Y$의 cover $\tilde{Y}_r$ corresponding to $\pi_1(T_r)$는 각각의 $n$에 대해, $f_n$에 의해서 $Z_n$으로의 holomorphic inclusion이 존재하게 됨. Schwartz lemma에 의해서 이 holomorphic inclusion map은 Poincare metric을 contract함. 따라서, $T_r$를 binding하는 simple closed curve pair $\alpha,\beta$는 $Z_n$에서 uniformly bounded length를 갖고 있음. Thurston의 "Binding confinement"라는 정리에 의해서, 이러한 $Z_n$은 $\mathrm{Teich}(T_r)$에서 compact subset에 들어가게 됨. 따라서 $Q(W,Z_n)$는 $Q(W,Z_{\infty})$라는 quasi-Fuchsian manifold로 converge하게 됨. 따라서 limit manifold인 $\tilde{M}(r)$는 quasi-Fuchsian manifold임.

따라서 $v = \mathcal{E}(M)$이 되고 이걸로 증명이 끝남. $\square$

Rmk. 증명에서 각 파트 모두 중요하지만, 마지막 quasi-Fuchsian manifold임을 보이는 파트가 가장 흥미로운 파트라고 할 수 있음. Pinching deformation에 의해 영향받지 않는 $W$가 하나 고정되어 있기 때문에 uniformly bounded length of binding pair를 갖는 Teichmuller space의 subset이 compact임을 Bers slice $B_W$에서 사용할 수 있었음. 그리고 이러한 uniform bound를 갖을 수 있었던 이유는, $\pi_1(T_r)$에 대응하는 $Y$의 cover가 $Z_n$에 holomorphic하게 inclusion을 할 수 있었기 때문.

Theorem 2로 부터 $\mathcal{E}$의 image를 정확히 파악할 수 있었지만, Theorem 1로 부터는 이 map의 continuity를 말해주지 않음. 그리고 사실 continuous하지 않음. 이건 기본적으로 "accidental parabolics" 가 limit manifold에서는 등장하기 때문:

E.g 1) $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$ 임을 이용해서, 서로 다른 isotopy class $\gamma$와 $\delta$ s.t. $i(\gamma,\delta) = 0$인 것을 찾음. 이제 $\mathcal{P}\subset S$를 maximal partition containing $\delta,\gamma$라고 하자. 그러면 $\mathcal{P}$로 Fenchel-Nielsen coordinate를 이용해서, $X_{n,m}\in\mathrm{Teich}(S)$ s.t.

$$\mathrm{length}_{\delta}(X_{m,n}) = {1\over m}\text{ and }\mathrm{length}_{\gamma}(X_{n,m}) = {1\over n}$$

으로 잡는다. 다시 말해서, $\delta$와 $\lambda$를 pinching하는 sequence를 잡는 것. 그러면 $\{Q(X_{n,m},Y)\}$는 $m\to\infty$일 때, 만들어지는 limit manifold들을 $\{M_n\}$이라고 하면 $\mathcal{E}(M_n) = \delta$가 되고, $n\to\infty$로 다음에 보내고 limit manifold를 $M$이라고 하면 $\mathcal{E}(M) = \delta\cup\gamma$가 됨. 근데, $\mathcal{E}(M_n) = \delta$ 인데 resulting manifold의 end-invariant는 $\gamma$도 포함되어 있기 때문에, 즉 $\gamma$가 accidental parabolic으로서 등장하기에, continuity가 깨짐.

E.g 2) 이 예시는 비슷하지만 추후에 나오는 end-invariant topology 정의의 정당화 같은 것인데, "growth rate"에 따라서 $\mathcal{PL}(S)$ 에서는 감지하지 못하지만 $AH(S)$ 에서는 감지가 되는 그런 현상이 있음을 보여줌. 따라서 기존의 $\mathcal{PL}(S)$에서의 topology 말고 좀 다른 더 세심한 topology가 필요함을 암시함: $C_0$를 $S$의 maximal partition이라고 하고, disjoint한 essential simple closed curve들 $\gamma,\delta$를 잡는데, $i(\alpha,\gamma)\neq 0\neq i(\alpha,\delta)$ for each $\alpha\in C_0$ 을 만족하도록 설정. $\tau_\gamma$와 $\tau_\delta$를 dehn twist 라고 하고 $C_n = \tau_\gamma^{n^2}\circ\tau_\delta^n(C_0)$ for each $n\in\Bbb Z_+$라고 하자. 그러면 maximal cusps $\{M(C_n)\}$의 limit manifold를 $M$라고 했을 때, $\gamma$와 $\delta$모두 parabolic으로 되지만, $\mathcal{ML}(S)$에서는 growth rate가 $\tau_\gamma$가 훨씬 크기 때문에, $[\gamma]$로 수렴하게 됨. 역시 이 경우도 $\mathcal{E}$의 discontinuity를 보여줌. 하지만 Hausdorff limit에서는 $\gamma$와 $\delta$ 모두 limit lamination의 sublamination으로 등장함.

이러한 이유로, continuity를 원한다면, 기존의 topology와 다른, sequence의 모든 Hausdorff sense로 accumulating하는 lamination들을 모두 캡쳐하는 것이 합리적. 따라서 다음과 같은 정의를 함:

Definition (End-invariant topology). The end-invariant topology on $\mathcal{EL}(S)$ is the topology of convergence for which $v_n\to v$ if for any Hausdorff limit $\lambda_H$ of any subsequence $v_{n_j}$, the maximal measurable sublamination $\eta\subset\lambda_H$ is a sublamination of $v$.

정의만 봐도 정확히 E.g. 2를 염두해두고 만든 것임을 알 수 있음. 다시 말해서 주어진 sequence $v_n$의 모든 Hausdorff convergence sense에서의 모든 accumulation point들을 모아놓은 것을 말함. 기존의 $\mathcal{PL}(S)$에서 convergent하면 여전히 end-invariant topology에서도 convergent함. 다시 말해서 open set이 더 크다고 볼 수 있음. 근데 한가지 조심해야할 것은, limit lamination $v$는 well-defined 되어 있지 않은 것이, accumulation point들을 제외한 부분에 대해서는 여러가지의 가능한 lamination들이 $v$에 존재할 수 있고, 따라서 limit $v$는 여러개가 나올 수 있음. 따라서 theorem 1에서의 strictly lower-semincontinuity를 강제로 continuous한 것으로 바꾼 것으로 볼 수 있음. 이렇게 해도 이 topology에는 문제가 많은데, 추후에 이 topology의 한계점을 살펴볼 것 (Theorem 7).

Topology의 이름에 걸맞게, 이제는 $\mathcal{E}$가 continuous하다는 결론을 얻을 수 있지만 내 사견으로는 좀 억지스러운 면이 보이긴 함 (근데 현재로서는 딱히 다른 방도가 없는 것 같음). 사실 나는 이 정의가 적절한지 부터가 의문인긴 한데, 사실 막상 여러 예시들을 생각해보면, 쉽사리 컨트롤을 할 수는 없는 것 같음. 보통 어떤 것으로 수렴한다고 하면, 그 limit 은 통상적으로 sequence의 "limit"보다 크게 되지 않는 것이 뭔가 상식인데, 계속 말하지만 결국의 limit으로 될 $\mathcal{E}(M)$에 등장하는 accidental parabolic들이 기존의 sequence에서는 전혀 모습을 보이지 않고 숨어있는 것들이기 때문에 limit에 등장하는 end-invariant는 까고보니 훨씬 클 수 있는 것.

암튼 다시 돌아와서, 이전의 예시에서 결국 accidental parabolics의 등장이 sequence manifold들에서는 나타나지 않지만 limit manifold에서 등장하는 바람에 end-invariant들이 갑자기 변하는 양상들이 보였음. 그렇게 때문에 accidental parabolics로 될 수 있는 대상들을 length의 decay를 파악해서 모아놓고 limit manifold의 end-invariant로 잘 "converge"한다는 것을 이끌어내면 1차적인 목적은 달성할 수 있음. (물론 end-invariant topology의 정의에 따라서 진짜 그 convergent limit이 limit manifold의 end-invariant와 같냐는 아님) 이를 위해 논문에서는 다음과 같은 정의를 함:

$M_n = Q(X_n,Y)$를 sequence converges to $X\in\partial B_Y$라고 하고, $\mathcal{B}_n$을 $X_n$에서 길이가 $B$ 보다 작은 essential simple closed curve들의 집합이라고 하자. 여기서 $B$는 base surface의 topological type에만 의존하는 Bers constant로, 이 가정에 의해서 $\mathcal{B}_n$은 항상 maximal partition을 포함하고 있음. 각각의 $n$에 대해서 $\beta_n^1\in\mathcal{B}_n$을

$${\mathrm{length}_{M_n}(\beta)\over\mathrm{length}_Y(\beta)}$$

를 minimize하는 element라고 하고, inductive하게 $\beta_n^k$를

$$\mathcal{B}_n\cap\mathcal{S}(S-\beta_n^1\cup\cdots\cup\beta_n^{k-1})$$

의 원소로서 위의 ratio를 minimize한다고 하자. 여기서 $\mathcal{S}$는 $S$위에서의 모든 essential simple closed curve들의 집합이라고 하고, $\beta_n^i$ for $i = 1,\ldots,k-1$를 제외한 것들 중에서 뽑았다는 의미다.

따라서 $k$가 늘어날 수록, accidental parabolic이 될 확률은 점점 내려갈 것이다. $k_0$를 maximal $k$ s.t.

$${\mathrm{length}_{M_n}(\beta_n^k)\over\mathrm{length}_Y(\beta_n^k)}\to 0$$

이 되는 index라고 하자. 다시 말해서 모든 $1,\ldots,k_0$ 까지의 $\beta_n^i$들은 모두 accidental parabolic들로 degenerate된다고 볼 수 있다. 다만, 여기서 저 ratio를 잼으로서 convergence rate, 혹은 growth rate을 측정한다고 볼 수 있다.

Definition. $\prod(M_n) = \beta_n^1\cup\cdots\cup\beta_n^{k_0}$.

따라서 $\prod(M_n)$은 accidental parabolics로 degenerate되는 essential simple closed curve들을 모아놓은 것인데, 처음 차례대로 decay가 빠른 것 순서대로 모은 것. 1차적인 목표인 convergence는 다음의 theorem이 보증함.

Theorem 6. Let $X_n\to\infty$ in $\mathrm{Teich}(S)$ determines quasi-Fuchsian manifolds $M_n = Q(X_n,Y)\to M$ in $\partial B_Y$. Then the partitions $\prod (M_n)$ converges to $\mathcal{E}(M)$ in the end-invariant topology.

증명을 하기 전에 먼저 main trick으로 사용되는 $\epsilon$-nearly straight train track에 대해서 조금 설명을 해야할 것 같음: 일단 통상적으로 train track이라고 하면 surface $X$ 에서 정의되는 개념으로, edge 들이 $C^1$-arcs인 embedded 1-complex임. 다만 소위 "switch condition" 이라는 것을 만족해야 하기 때문에 어느정도 모양이 정해져 있음. 아무튼 이러한 train track을 Kleinian surface group에서도 정의할 수 있는데, 기본적인 철학은 pleated surface와 동일함. Train track $\tau^*$ in a hyperbolic 3-manifold $(f:S\to M)\in AH(S)$ 라는 것은, 일단 hyperbolic surface $X\in\mathrm{Teich}(S)$에서의 train track $\tau$와 smooth map $h:X\to M$ compatible with marking이 있어서 $h(\tau) = \tau^*$가 되는 것을 말함. 마치 geodesic lamination을 realizing 하는 것과 같음. $h$는 $\tau$를 $M$에서 $\tau^*$로 realize한다고 말하고, $\tau^*$가 어떤 lamination $\lambda$를 carry한다는 것은, $X$에서 $\lambda$를 $\tau$가 carry하는 경우를 말함. 다만 이 경우에는 $h$의 smoothness를 요구하기 때문에 pleated surface인 것은 아니고, 또한 totally geodesic이나 local isometry를 요구하지 않음.

Definition ($\epsilon$-nearly straight). Let $0<\epsilon<1$. A train track $\tau$ in a hyperbolic manifold $M^n$ for $n = 2,3$ is $\epsilon$-nearly straight if any train path $r:\Bbb R\to \tau$ lifts to a $C^2$-embedding $\tilde{r}:\Bbb R\to\tilde{M}^n$ with geodesic curvature less than $\epsilon$. A train track $\tau\subset X$ has an $\epsilon$-nearly straight realization $\tau^*$ in $M^n$ if $\tau$ is equivalent to an $\epsilon$-nearly straight train track $\tau^*$ in $M^n$.

이 $\epsilon$-nearly straight train track는 geodesic curvature가 주어진 $\epsilon$ 만큼만 perturbed 되어있기 때문에 geodesic representative로 쭉 편다고 해도 length가 드라마틱하게 줄고 그러진 않음: $\epsilon$에 depend되는 contraction bound $K:[0,1)\to [1,\infty)$ s.t. $K(\epsilon)\to 1$ as $\epsilon\to 0$ 이 존재해서, 임의의 arc $\alpha\in\Bbb H^n$ of geodesic curvature less than $\epsilon$에 대해서

$$l(\alpha^*)\geq{1\over K(\epsilon)}l(\alpha)$$

가 성립함. $\alpha^*$은 $\alpha$의 geodesic representative rel end-points 임. 따라서 $\epsilon$이 점점 작아져서 geodesic에 가까워 지면, 길이가 geodesic의 길이에 수렴하게 됨.

이 $\epsilon$-nearly straight train track은 Brock의 length function의 continuity를 보일 때 처음 등장한 것으로 (상당히 쉽지 않음), 이것 또한 $\mathcal{ML}(S)$의 topology와 연관되어서 테크니컬한 이슈로 인해서 탄생한 것으로 알고 있음. 근데 저 논문을 내가 제대로 안읽어봐서 자세한 이유는 모르는데, 혹시 나중에 읽게 된다면, 더 자세히 다뤄보겠음. Nearly straight train track은 length function의 continuity를 보이는데 사용된 핵심 기술 중 하나인 것 까지는 말할 수 있겠음.

Proof of Theorem 6. 사실 증명에 사용되는 main trick으로 $\epsilon$-nearly straight train track을 이용할 것인데, 이것은 그냥 팩트로 받아들이고 증명을 전개하기로 하겠음. $\lambda_H$를 (notation을 혼용해서) $\prod(M_n)$의 subsequence의 Hausdorff limit 이라고 하자. 만약 $\alpha\in\lambda_H$가 isolated simple closed curve라면, $\alpha$는 $\prod(M_n)$에 무한히 많이 속해있어야 한다. 따라서, $\prod(M_n)$의 정의에 따라 $\inf_n\{\mathrm{length}_{M_n}(\alpha)\}= 0$이 된다. 따라서 $\mathrm{length}$의 연속성에 의해서 $\alpha\subset\mathcal{E}(M)$이 됨. 만약 $v\subset\lambda_H$가 그게 아닌 임의의 measurable sublamination이라고 하면, $c_n\in\prod(M_n)$ 이라는 sequence가 있어서 $\prod(M_n)$의 정의에 따라, $\mathrm{length}_Y(c_n)\to\infty$ 이고 $v$는 $c_n$의 Hausdorff limit point로 나타남. 자 보여야 할 것은 $v$가 $M$에서 non-realizable하다는 것을 보여야 함. $v$가 $M$에서 realizable하다고 가정해보자. 여기서 앞에 말한 trick을 사용할 것인데, 이 가정하에 도출할 수 있는 것이 다음과 같음: There is an $\epsilon$-nearly straight train track $\tau\subset M$ carrying $v$ and a uniform $C>1$ so that $\tau$ admits enlargements $\tau_n$ minimally carrying $c_n$ with $C\epsilon$-nearly straight realizations $\tau_n^*$ in $M_n$ for large $n$. 처음 sequence $c_n$ 자체가 $v$로 converge하는데, $v$가 realizable 하다면, $v$를 carrying하는 $\epsilon$-nearly straight train track $\tau$가 존재해서, $\tau$에 적절히 branch들을 붙여서 carrying할 수 있는 lamination을 늘리면, $c_n$을 minimally carrying하는 train track으로 만들 수 있고, 이 train track 또한 충분히 큰 $n$에 대해서 $C\epsilon$-nearly straight train track in $M_n$이 된다는 것.

이걸 말한 진짜 이유는 사실 다음과 같은 사실이 따라나오기 때문: 만약 $b$가 $\tau_n$의 branch라고 하고, $m_b(c_n)$을 $c_n$이 $b$를 지나가는 횟수라고 한다면, $m_b(c_n)$은 $n$이 증가함에 따라 발산한다는 것을 도출할 수 있음. 자 이제, $C\epsilon$-nearly straight 임을 이용해서 다음과 같은 부등식을 얻음

$$\mathrm{length}_{M_n}(c_n)\geq{1\over K(C\epsilon)}l_{M_n}(c_n).$$

우변의 $l_{M_n}(c_n)$은 각각의 branch $b$ 들의 길이에 $m_b(c_n)$을 곱하는 것이고, $m_b(c_n)$은 무한으로 가기 때문에 $\mathrm{length}_{M_n}(c_n)$ 또한 무한으로 감. 하지만, Bers inequality에 의해서

$$\mathrm{length}_{M_n}(c_n)\leq 2\mathrm{length}_{X_n}(c_n),$$

이 성립하고 또한 $c_n$은 $\prod (M_n)$에 속해있기 때문에, $\mathrm{length}_{M_n}(c_n)<2B$가 되기에 모순. 따라서 $v$는 non-realizable하고 따라서 $\mathcal{E}(M)$에 속함. $\square$

Corollary 6-1. The laminations $\mathcal{E}(M_n)\sqcup \prod (M_n)$ converges to $\mathcal{E}(M)$ in the end-invariant topology. Here, $M_n\in\overline{B_Y}$ is any sequence converging to $M$.

Proof of Corollary 6-1. 자 $\lambda_H$는 $\mathcal{E}(M_n)\sqcup \prod(M_n)$의 Hausdorff limit point라고 하자. 그러면 모든 connected measurable sublamination $v\subset\lambda_H$에 대해서 further subsequence를 잡아서 항상 $\prod(M_n)$나 $\mathcal{E}(M_n)$의 Hausdorff limit point에 들어가 있게끔 만들 수 있음. Theorem 1과 Theorem 6 그리고 $\mathrm{length}$ 함수의 연속성에 의해서 $v$는 $\mathcal{E}(M)$에 속해있음. $\square$

WARNING! 여기서 조심해야할 것은, end-invariant topology의 성질에 따라서, 저 sequence $\mathcal{E}(M_n)\sqcup\prod(M_n)$은 $\mathcal{E}(M)$에 convergent할 수는 있으나, limit이 $\mathcal{E}(M)$의 모든 lamination들을 나타낸다는 아니다. 이전에도 말했지만 이 지점이 바로 그 문제의 지점으로, end-invariant topology의 한계. 예를 들어서, end-invariant가 어떤 essential simple closed curve $\gamma$인 $M$이 있다고 했을 때, density of maximal cusp 때문에 항상 maximal cusp $M(C_n)$ such that $M(C_n)\to M$인 maximal cusp이 존재함. 그러면 $C_n$은 end-invariant topology에서의 convergent 성질에 의해서 Hausdorff topology 상으로는 $\gamma$가 maximal measurable sublamination으로 unique하게 등장하지만, end-invariant topology에서는 $\gamma$를 포함하는 임의의 모든 lamination이 $C_n$의 limit이 됨. 이 예시는 $\mathcal{E}^{-1}$ 또한 continuity를 기대할 수 없음을 나타낸다. 예시에서 $\gamma$가 정확히 $\mathcal{E}^{-1}$의 discontinuity에 해당된다고 볼 수 있다.

그러면 또 할 수 있는 질문이, convergent maximal cusp $M(C_n)\to M$ 이 있어서 $\mathcal{E}(M(C_n))$이 더 늘어나는 것(enlargement)이 불가능 할 때, $\{C_n\}$의 Hausdorff limit point로 등장하는 maximal measurable sublamination $v$이 $\mathcal{E}(M)$를 완전히 포착가능한가 질문할 수 있음. 만약 $C_n$이 relatively filling lamination, 다시 말해서 $\mathcal{EL}(S)$로 converge하면 당연히 $\mathcal{E}(M)$과 같고, Theorem 2에 의해서, 만약 $C_n$ 이 relatively filling 하는 lamination으로 converge를 못한다면, 적어도 하나의 Hausdorff limit point $v$가 $\hat{v}$로 enlarge를 하게 되는데, 그러면 이렇게 enlarge된 $\hat{v}$들이, 다시 말해서 implicit하게 생겨나는 cups들만 알면, $\mathcal{E}(M)$임을 기대할 수 있는지가 질문이라고 볼 수 있다.

하지만 다음의 정리는 $v$의 implicit cusp 혹은 implicit partition은 여전히 $=\mathcal{E}(M)$을 주기에는 부족하다는 것을 보인다. 다시 말해서 새로운 accidental parabolic들이 $v$에 포함되어 있지도 않고 implicit partition으로 등장하지 않을 수도 있다.

Theorem 7. Let $\gamma$ be an essential simple closed curve in $S$ and $\dim_{\Bbb C}(\mathrm{Teich}(S))>1$. Then for any other essential simple closed curve $\alpha$ in $S-\gamma$, there are maximal partitions $C_n\to\lambda_H$ in the Hausdorff topology and associated maximal cusps $M(C_n)\to M$ in $\partial B_Y$ for which

(1) $\gamma$ is the maximal measurable sublamination of $\lambda_H$, and

(2) $\alpha$ lies in $\mathcal{E}(M)$.

만약 $\alpha$가 implict partition으로 나타났으면, $\gamma$가 maximal하게 나타나지 않을 것이기 $\alpha$는 implict partition으로 나타나지 않지만, $\mathcal{E}(M)$에는 등장한다. 예상치 못한 accidental parabolic이 등장할 수 있다는 것.