정적분으로 정의된 함수 (ft. 220620, 2111나20)
현 수능 수학에서는 연속 함수에 대해서만 적분을 다루기 때문에 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속인 함수라고 하겠습니다.
위의 수식이 지니는 의미는 단순합니다.
적분 구간 [a, x]에서 (혹은 구간 [x, a]에서) 함수 f(x)를 적분한 값이라는 뜻입니다.
미적분학의 기본 정리를 이용하면
주어진 함수 g(x)를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
그럼 해보고 싶은 것이 2가지 생깁니다.
하나는 x=a를 대입하여 우변을 0으로 만드는 것이고
다른 하나는 F가 f의 부정적분 중 하나이니 양변을 미분해보는 것입니다.
이것이 교과서에 소개된 '정적분으로 정의된 함수'의 기본 내용입니다.
만약 이런 식으로 g(x)에 변형을 주면 어떨까요?
t는 어차피 적분 변수이니 아래처럼 바꾸어도 상관 없습니다.
혹은 아래처럼 바꾸어도 상관 없기 때문에 우리는 지금 상황에서의 t, y가 하고 있는 역할을 dummy variable이라고 하곤 합니다.
아까보다 상황이 조금 복잡해졌으니 적당한 x값을 대입해 상황을 파악해봅시다.
앞선 상황과 달리 적분할 함수가 계속 변합니다.
따라서 우리가 바로 미적분학의 기본 정리를 적용하기에는 어려움이 있습니다.
x값에 따라 적분할 함수가 달라지니 미적분학의 기본 정리를 적용한 결과물도 달리지기 때문입니다.
그래서 우리는 상황을 단순하게 바라보기 위해 위와 같은 식 조작을 통해 x를 적분 밖으로 꺼내줄 수 있습니다.
어차피 t라는 dummy variable에 대한 적분이고 수능 수학에서 우리는 다변수 함수를 다루지 않기 때문에 위와 같은 생각을 이어갈 수 있습니다.
함수 tf(t)에 대한 적분을 이와 같이 이해해주면
이와 같은 결론에 도달할 수 있습니다. 그리고
첫 예시와 같은 맥락에서 이 또한 알아낼 수 있겠습니다.
선택과목이 확률과 통계 혹은 기하이신 분들을 위해 첨언하자면
g''(x)는 g'(x)의 도함수이며 g(x)의 '이계도함수'라는 말을 쓰곤 합니다.
이제 한 단계 더 나아가봅시다.
이와 같은 상황은 어떻게 다루면 좋을까요?
앞선 'x는 변하기 때문에 적분 밖으로 꺼내주면 편하다'는 생각을 이어가면
이와 같은 식 조작을 해볼 수 있겠고
한 번 더 나아가
라는 정보와
까지 정리해볼 수 있겠습니다.
혹은 g(x)가 다음과 같이 정의되어 있다면
다음과 같은 정리가 가능하겠습니다.
그럼 결론이 나오죠!
추가로 우리가 어떤 함수의 도함수를 구해보는 이유가 주로 도함수의 부호 변동을 조사하여 원함수의 개형을 작성하기 위함인데
임을 이용하면
임을 알 수 있어 함수 g'(x)가 실수 전체의 집합에서 감소하지 않음도 확인할 수 있겠습니다.
2022학년도 6월 20번입니다. 같은 방식으로 접근해봅시다.
먼저 x에 관한 것들을 적분 밖으로 꺼내주고
적분 구간의 길이를 0으로 만들어보고 양변을 미분해보니 이와 같은 결과를 얻을 수 있었습니다.
이제 바로 위 예시였던 상황에서 확인할 수 있던 도함수의 부호에 관한 정보에 초점을 두면
실수 전체의 집합에서 이것이 성립하기 때문에
g'(x)를 구성하고 있는 이 함수는 실수 전체의 집합에서 감소하지 않는 함수임을 확인하실 수 있습니다.
이후 문제 풀이는 더 생각해보시면 좋겠습니다!
2021학년도 수능 나형 21번입니다. 마찬가지로 주어진 함수 g(x)를 정리해보면
를 확인하실 수 있습니다.
그럼 마찬가지로 함수 2x와 함수 \int_a^x f(t)dt의 곱을 해석해 풀이를 이어갈 수 있겠죠!
p.s 내신 대비였다면 '라이프니츠 정리'였나? 해서 이와 같은 상황을 보다 빠르게 정리하는 공식을 알아두면 좋을 수도 있는데... 우리는 수능 수학 공부하고 있으니 거기까지 들어가진 맙시다 ㅋㅋㅋㅋ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
웹툰앱을 깔아야겠지 흑흑
-
ㄹㅇ ｡◕‿◕｡
-
국어 차이 2
실모랑 평가원 차이 나는 이유가 뭘까요 잊고 지냈는데 생각하니 급 불안해짐 찐...
-
점공 가능하시면 점공 부탁드립니당... 2차도 다들 ㅎㅇㅌ!
-
원점수가 같은게 문제였죠 ｡◕‿◕｡
-
이건 사설틱해서 그런거고 수능에선 결국 내가 잘볼것이라고 믿었음
-
ㅈㄱㄴ 부자없나요
-
솔직히 BL보단 15
백합이라고 생각해요 ｡>‿<｡
-
국어는 평가원하고 실모 괴리가 큰 분들이 많은 듯 17
점수가 퐁당퐁당
-
수학이새기는 오르질 않고 내 발목을 3년 내내 잡았음 근데 수능에서 내 손을...
-
!
-
과거에 쓰신분들 이거 정확했나요..? 스나인데 후한거같아서ㅠ 40프로 정도 들어왔고...
-
저 나름 수능 국어 백분위 100 출신인데 서점에 이거 훑어보다가 제가 무의식적으로...
-
내가 생각해도 에반거같아서 참고있음... 인간 심리 방어기제가 이렇게 힘이 쎈지몰랏으
-
수학'만' 공부해서 수학'만' 수능 응시하려고 합니다. 원래 뉴런들으려다가 수학...
-
얼평 ㅇㅈ 10
엌ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
#~#
-
떨리는건 정말 십분 이해하지만 이미 지원한 이상 바뀌는건 없다 걍 빨리 점공하고...
-
이러고 수능때 화작 94 뜸
-
오노추 1
-
유니콘 프로 goat 18
인앱 광고도 싹없애주네 저처림 맨날 폰붙들고 사는사람에게 추천
-
엣큥 ｡>‿◕｡ 3
히히 ｡>‿<｡
-
같은 사진 3번했는데 다 다르게 나오네 ㅋㅋㅋㅋㅋ 그것도 1%p 차이가 아니라 걍 ㅈㄴ 왔다갔다함
-
외모가 뛰어나서 인기인건가요? 다들 고우시네...
-
노양심같음 1년에 하나씩 성적표 나오는데 1년만써야죠
-
컨설팅에서 쓰라고한 과가 폭나면 보통 환불해주나요?
-
보내달라고!!!!
-
설대 경영 어디까지 가나요?
-
24리트로는 그 해 입시만 치를수있는건가요? 아니면 23리트를 계속 묵히다 25년...
-
반박 안받는다
-
뭐 치킨 이런 배달음식도 먹는거 잘 못봤고 카페도 같이 갈 때 맨날 개인...
-
수능 영어를 대비하기 위해 마더텅을 사서 풀고있습니다. 제 현재 독해하는 순서가...
-
킥킥… 0
오랜만에 펜 잡으니까 손 떨림 ㅋㅋㅠㅠ 진짜 힘이 없는건지 내 미래때문에 떨리는건지..
-
이과는 과라는데 2
얼마나 학과가 중요한거임?
-
덴티큐가 보고 싶구나..
-
세지는 개재밋는데 사문이 토할거같아요 근데 백분위 생각하면 사문이맞는데 가슴은...
-
-
여러곳에서 빵날거같은 예감이 보이네
-
기출 다하고 이제 n제하는데 맛있는지 맛없는지도 많이 먹어본 사람이 알 수 있는거니까 궁금
-
대학마다 차이가 큰가요?
-
삼반수 끝, 홍익대학교 미술대학자율전공 합격 수기! 32
오르비엔 미대 입시생들은 별로 없겠지만 ㅎㅎ 여기서 수능 관련해서 도움 받은 게...
-
오늘도 고귀한 하루되세요 ｡◕‿◕｡
-
무조건 튈건데
-
배터리 효율 계산하는데 이러네요
-
전 낼부터 슬슬 시작하려는데ㅠㅠㅠ 늦은건 아니겠지요..
-
ㅅㅂ 너 국어 2등급이냐? 상대가 저렇게 말하면 ㄹㅇ로 긁힐거같음 왜냐면 팩트거든
-
메가패스 샀다 0
-
문법다맞으로간신히2등급달성함 ㄹㅇ 다행
-
노래방임 3
선곡 하나 빨리
-
｡◕‿◕｡ 너
형 나중에 기회되면 절댓값 들어간 것두 설명해줘요! 잘 읽고 가요!
네! 근데 제가 주로 글에서 다루는 것들은 특별한 것이 아니라 교과서에서든 어떠한 자료에서든 유튜브 영상에서든 모두 확인할 수 있는 것이기 때문에.. '이 사람 이야기도 들어봐야지'가 아닌 '이건 어떤 내용이지?'라는 생각이 드시는 다른 분들께서는 구글, 유튜브 등 활용하여 미리 학습해보시기 바랍니다.
라이프니츠 규칙!
고2 때 배웠던 것 같은데 기억 안 나네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
구글에 치면 야무진거 많아용 은근 도움됨
그나저나 무슨 학교였나요ㅎㅎ
경기도에 위치한 한 자율형 공립고등학교 나왔습니다!