우주론 강의 2. 우주의 밀도와 우주 모형
저번 글...
1. 프리드만 방정식
프리드만 방정식은 우주가 등방성과 균질성을 만족할 때 유도되는, 우주를 지배하는 방정식이라고 할 수 있다.
G는 만유인력 상수, rho는 밀도, P는 압력, c는 광속, H는 허블 상수, a는 척도인자이며 무차원이다. 또, k는 우주의 곡률을 나타내는 수이며 k=0이면 평탄한 우주, k > 0이면 닫힌 우주, k < 1이면, 열린 우주이다. 이때, k의 단위는 /m^2 이다.
혹은 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원으로 두고, a를 m단위로 쓸 수도 있다. 이런 경우에는 k는 –1, 0, +1 중 하나의 값을 가지며, 무차원의 수가 된다.
2개의 식을 프리드만 방정식이라고 한다. 우리는 이 중 첫 번째 식을 활용하여 몇 가지 우주 모형을 살펴볼 것이다. 당연하지만, 프리드만 방정식은 모두 등방성과 균질성을 가정하므로, 이로부터 유도되는 우주 모형들은 모두 허블 법칙이 성립한다.
2. 등속 팽창 우주
첫 번째 식에 a^2을 곱하면 다음을 얻는다.
이 문단에서는 편의상 로버트슨-워커 계량에서 r을 무차원의 수로, a를 m단위로 생각하겠다. 이러면 k는 –1, 0, 1 중 하나의 값을 가져야 하니, 우변의 두 번째 항은 상수가 된다. 이제 등속 팽창하는 우주이므로 da/dt 는 상수이다. 좌변이 상수이기 위해서는 rho = 0이어야 할 것이다. 왜냐하면, 우주의 밀도가 0이 아닐 경우, 우변의 첫 번째 항은 우주의 크기에 따라 값이 바뀔 것이며, 우변이 상수가 되지 않는다. 따라서 이 우주는 우주에 아무것도 없는, 텅 빈 우주이다. 또한, 좌변은 양수이므로, 우변도 양수여야 하니 k = -1, 즉, 이 우주는 열린 우주임을 알 수 있다.
정리하면, 등속 팽창 우주는 텅 빈 우주이고, 우주의 기하학적 모양은 곡률이 음수인 열린 우주이다.
3. k = 0이며, 우주의 밀도 = 우주의 물질 밀도인 우주
이 문단부터는 저번 글에서와 같이 척도인자를 현재 값이 1인 상대적 크기로, r을 m(미터)단위로 쓰겠다.
k = 0 일 때의 밀도를 임계밀도라고 하고, rho_c 로 쓰자. 그러면 프리드만 방정식을 정리하여 다음을 얻는다.
현재는 첨자로 0을 붙여서 표기하자. 현재 우주의 임계밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
rho_c,0은 현재 우주의 임계밀도, H_0는 현재 허블 상수이다.
이제 밀도 변수를 다음으로 정의하자.
우리가 다룰 우주 모형은 k = 0이므로 Omega = 1인 우주이다.
이제부터 첨자 m을 붙인 것은 물질을 의미한다.
이제 이런 상황에 대해서 알아볼 것이다.
k = 0 이므로 프리드만 방정식은 다음으로 쓸 수 있다.
현재에 대해서는 위 식을
로 쓸 수 있다.
우주의 총 물질은 일정할 것이므로 물질 밀도는 척도인자의 세제곱에 반비례한다. 그러므로 물질 밀도는 다음으로 쓸 수 있다.
현재의 척도인자 a_0 = 1을 대입하였다. 이것으로 치환하면
이 된다. 이제 a로 정리하면
을 얻는다. 우주의 크기는 시간의 2/3 제곱에 비례한다. 또, 빅뱅 이후 현재 우주의 크기(a=1)에 도달할 때까지 걸리는 시간은
를 얻는다. 이것이 이 우주 모형에서의 우주의 나이가 된다.
4. 암흑 에너지(우주 상수)를 가정하며, k = 0 인 우주
이 경우는 풀이 과정이 길기 때문에 결과만 기술하겠다.
이 우주 모형의 경우 척도인자를 시간에 대해 미분하여 da/dt를 구해보면 그 값이 감소하다가 어느 순간부터 다시 증가하는 것을 볼 수 있다. 그래서 이 우주 모형을 가속 팽창하는 우주 모형이라고 한다. 또, 이 우주 모형의 경우 허블 상수는 항상 감소한다.
이 외의 우주 모형은 생략함.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
옛날엔 이게 남자 답다고 생각했는데 말이죠 어딜봐도 남자 답지는 않음
-
벌써 댓글 400개 씀 ㅁㅊ
-
히히
-
말해주셈
-
-
참많다고 생각했는데
-
배그하는사람 1
스팀배그 하는사람있음?
-
으흐흐.. 2
X발
-
종강을 바란다
-
사랑한다는 말 하지마셈 14
나같은 모솔 찐따는 진짜 설렘 하 이래서 내가 세상 살기 힘들다
-
제가 이정도 라인인데 컨설팅 의대 서연고같은 극상위권 분들만 받으시나요? 그리고...
-
엄청 길게 느껴졌는데
-
그래서 의무감에 뻘글과 뻘댓을 난사하는 것이 아닌 진정으로 재밌어서 자발적으로...
-
똥글을 2
뿌지직
-
자다 깼어요
-
잠 자라 그러다 나처럼 키 작은 어른이 된다 ㅎㅏ
-
기차지나간당 8
부지런행
-
안믿겨지네뇨이
-
아무것도 모르는 상태에서 선본다면 누구랑 할거야?
-
오늘부터 잡담 안 적고 공부한 것들만 적어야 겠다 흐아아ㅏ앙
-
댓글 패턴 보면 ㄹㅇ ㄷㄷ ㅁㅊ ㄱㅁ ㅋㅋㅋㅋㅋ 그리고 오르비 이모티콘 여기서 계속 돌려막기함
-
나는 전공 지식이 아니라 사람이 필요하기에
-
-
너무 부끄러웠음....
-
머야 왜 3시임?? 11
이게 뭐밍
-
외국어 대학이라는 정체성이 있어서 그런지 비슷한 급간 대학 뱃지보다 약간 지적인...
-
이 버튼을 누르면 당신이 지원한,지원할 대학의 올해입시 마지막 합격발표날자로 곧바로 이동합니다
-
나 왜 안 자1지 14
원래 딥슬립할 시간인데
-
당신은 2024년 10월 28일로 돌아가게됩니다 (시험답 기억x),로또같은거 기억x...
-
친구 사귀고 싶다 13
확실히 재수가 힘들긴 한가 봄 이 내가 친구 사귀고 싶다는 말을 하다니
-
미친흉기 더럽게 아프네
-
당신은 2023년 11월 28일로 가게됩니다
-
그렇게밤이되엇져 4
-
사실 여자좋아함 뻥임
-
그때의 나로 갈수있다면
-
불면증?걸렸는데 4
ㄷ잡생각이 너무 많아서 졸린데도 맨날 4-5시에 자고..하루에 2시간밖에못잠.. 잠...
-
시간떼우기 너무좋은데 문제는 영상이 몇개 없어서 하루만에 다 봐버렸다는 거임
-
롤모델이 노₩₩라서 ㅇㅇ
-
나는지금 6
뭐먹게
-
-
문제는 여건상 수능밖에 기회가 없다는 거임 수능에서 센츄를 따야 함 ㅠㅠ
-
수학황만 7
현우진 뉴런 수2 정적분 넓이 파트 인데요 제가 그린 함수 같은 상황에서는 점대칭...
-
식스센스 지구과학
-
대학 태그하거나 적음?
-
잘생겨지고 싶다 6
잘생겨지면 할 일 거울 속에 비친 내 모습 계속 보기 내 얼굴만 봐도 재밌을텐데 ㄹㅇ
-
얼버기 0
얼버기 기상
-
https://youtu.be/MgyhJ-F-IpM?si=vvUMxjLEbTS66mFe
-
공군컷말이되나 3
이사람들밥먹고자격증만준비했나
-
김범준쌤스타일이 0
어떤 스타일인가요? 약간 스킬적인 거 중요시하시나요
-
ㅇㅈ특 1
내가할려고하면심장박동수280되서 못하겜ㅅㄹ음
항상 우주는 재밌어용선생님 너무 어렵습니다;;