[미적분] O/X 퀴즈 최종본 풀이

1. (참) : 대우 명제를 생각해보면 간단하게 증명이 되는 기본 문제입니다.

2. (거짓) : 반례 : a_{n} = 1/n. 조화급수의 합은 발산합니다.

3. (거짓) : 반례 : a_{n} = (-1)^{n+1} / n이면 sum a_{n}은 Alternating Series Test에 의해 수렴하지만 na_{n} = (-1)^{n+1}은 끊임없이 -1와 1을 반복하여 진동발산합니다.

4. (거짓) : 반례 : n이 제곱수일 때는 1/n, 그렇지 않을 때는 0을 가지는 수열 { a_{n} }에 대하여 sum a_{n} = 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = sum 1/n^{2}은 p-Series Test에 의해 수렴합니다. (또는 그 값이 pi^{2} / 6임을 구할 수도 있습니다.) 하지만 lim na_{n}은 0과 1이 섞여서 나오므로 진동발산합니다.

5. (거짓) : 반례 : a_{n} = 1/(n ln n). (n > 1) lim na_{n} = lim 1/(ln n) = 0이지만 sum 1/(n ln n)은 Integral Test에 의해 발산합니다. 

6. (참) : 정의역에서 연속인 함수를 연속함수라고 합니다.

7. (거짓) : x > 0에서는 분명 연속이지만 x가 음수일 때도 x^{x}가 정의되는 경우가 존재한다는 것이 문제입니다. x = -2, x = -1/3 등등이 있죠. 울프람은 x^x의 정의역을 양의 실수로 제시하는데, 정의역의 의미를 생각해본다면 정의역을 양의 실수로 제한할 근거가 전혀 없습니다. (물론 정의역을 연결된(Connected) 구간으로 잡는 것이 좋기 때문에 통상적으로 그렇게 설정하긴 합니다. 그래서 맨 위에서 제시한 '정의역'의 엄밀한 표현에 입각하여 접근하라고 써 놓았습니다. )

결론은 불연속함수입니다. x = 0에서의 논의는 충분하지 않고, x가 음수일 때 엡실론-델타 논법으로 불연속임을 증명해야합니다. 증명 :

(증명 때문에 문제가 밀려서 다시 첨부합니다.)

8. (참) : 뚝 뚝 끊어져 있어서 불연속함수라고 생각하기 쉽지만 이것도 정의역에서는 연속이므로 연속함수입니다.

9. (거짓) : 두 함수를 혼동하여 마치 cot x의 정의가 1/(tan x)인 것처럼 생각하시는 분들이 많은데, 두 함수는 본질적으로 다른 함수입니다. (고등학교에서 다루는 일변수 실함수만 생각하면) 두 함수가 일치할 조건은 (1) 두 함수의 정의역이 동일하고 (2) 정의역 내의 각 원소에 대응되는 함숫값이 각각 모두 같을 때 입니다. 하지만 여기서는 정의역이 다르죠. tan x가 양의 무한대 혹은 음의 무한대로 발산하는 점근선 지점에서 cot x는 0의 값을 가집니다. (무한대 분의 1은 0이다 같은 주장은 틀렸습니다. 확장실수계를 다루는 것도 아니잖아요.)

10. (거짓) : 

11. (거짓) : f(x) = 0 (x는 유리수), 1 (x는 무리수), g(x) = 1 (x는 유리수), 0 (x는 무리수)로 놓으면 둘 다 x = 0에서 불연속이지만 h(x)는 y = 0인 상수함수이므로 x = 0에서 연속입니다.

12. (거짓) : 수직접선이라는 것이 존재합니다. y축과 평행한 접선인데, 기울기를 정의할 수 없어서 미분도 불가능하지만 접선은 그릴 수 있습니다. y = x^{1/3}의 x = 0에서의 접선이 대표적입니다.

13. (참) : 유리수 특성함수 또는 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속입니다. f(x) = 1 (x는 유리수), 0 (x는 무리수)

14. (참) : 병리적 함수의 일종인 바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분불가능합니다. 프랙탈 곡선도 있겠네요.

15. (거짓) : 극댓값은 어떤 열린 구간 내에서의 국소적인 최댓값입니다.

16. (참) : 최댓값의 정의에 의해 최댓값을 포함하는 임의의 열린 구간을 잡기만 하면 그 구간에서도 최대라는 성질은 유지가 되고, 따라서 극댓값의 정의에 의해 극댓값이 됩니다.

17. (거짓) : y = x^{1/3}은 x = 0을 기준으로 이계도함수의 부호가 바뀌므로 변곡점이지만 x = 0에서 미분계수가 발산하여 미분불가능합니다.

18. (거짓) : 어떤 점에서 f'(x) = 0일 수도 있습니다. ex) y = x^{3}.  또한 단조증가라고 했기 때문에 f'(x) = 0인 구간, 즉 상수함수인 구간이 존재해도 무방합니다. '강증가'라고 한다면 상수함수 구간은 없어야 하지만 y = x^{3}과 같은 경우가 있기 때문에 여전히 거짓입니다.

19. (거짓) : (해설 작성 : pqr)

20. (거짓) : f(x) = e^(-x^{2})과 같은 함수들은 그 부정적분이 초등함수들의 유한 연산으로 표현할 수 없는 비초등함수입니다. 하지만 부정적분은 분명히 존재하고, erf(x) (Error Function)이라는 함수를 정의하여 이용하고 있습니다. 하지만 그럼에도 y = [ x ] (가우스 x) 같은 것들은 죽었다 깨어나도 부정적분이 존재하지 않고, 존재할 수 없습니다.

미분가능한 함수의 도함수도 불연속일 수 있는데(ex : f(x) = x^{2} sin(1/x) (x != 0), 0 (x = 0)), 그렇다면 미분가능한 함수의 도함수가 만족시켜야 할 조건이 뭘까? 그 답이 다르부 정리입니다.

f(x) = x^{2} sin(1/x) (x != 0), 0 (x = 0)의 도함수는 분명 불연속함수이지만 여전히 다르부 정리는 만족시킵니다. 따라서, 다르부 정리를 만족시키지 않는 함수는 죽었다 깨어나도 미분했을 때 그게 나오는 함수, 즉 부정적분이 존재할 수 없고, 그 예시가 [ x ]입니다.

(g(x) = [ x ]일 때 G(x) = int_{0}^{x} g(t) dt가 부정적분이 아니냐? [ x ]는 불연속점이 유한해서(셀 수 있어서) 적분도 가능하다! 라고 주장하면 큰일납니다. int_{0}^{x} g(t) dt로 정의되는 함수를 미분했을 때 g(x)가 나온다는 미적분학 기본 정리 I (FTC Part I)의 전제 조건은 연속입니다. [ x ]는 연속함수가 아니죠.)

(사실 더 깊게 들어가면 f(x) = x^{2} sin(1/x) (x != 0), 0 (x = 0)의 도함수도 불연속인데, 왜 얘는 부정적분이 존재하느냐? 라고 한다면 불연속점의 분류도 언급을 해야 합니다. 좌우 극한이 모두 유한한 값으로 존재하지만 서로 다른 First Kind Discontinuity의 경우 다르부 함수가 아니므로 부정적분이 존재할 수 없습니다. 불연속점을 가지는 모든 다르부 함수는 그 불연속점의 유형이 Essential(한쪽이 진동이든 무한대로 발산이든 아예 존재하지 않는 형태)이어야만 합니다. f'(x)의 도함수를 보면 cos(1/x) term 때문에 극한값이 존재하지 않아서 불연속인 상황이죠.)

(다르부 함수의 불연속점의 개수는 상관이 없습니다. 다르부 조건을 만족시키기만 한다면 부정적분이 반드시 존재하죠. 이걸 이용하면 모든 점에서 불연속인 다르부 함수를 만들어낼 수 있고, 그 예시가 Conway Base 13이라는 함수입니다. 어떤 미분가능한 함수를 미분했더니 모든 점에서 불연속이 되어버리는 괴랄한 상황이죠.)    

21. (거짓) : 아래 함수는 초월함수이지만 이계도함수가 미분불가능합니다.

22. (거짓) : 앞서 언급한 Conway Base 13 함수와 비슷한 내용입니다. 병리적 함수의 일종인 볼테라 함수는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 그 도함수 V'이 유계이지만, V'은 모든 점에서 리만 적분이 불가능합니다.

23. (거짓) : 반례 : f(x) = x^{2}의 한 역도함수는 x^{3} / 3 + 17입니다. 기함수가 아니죠.

24. (거짓) : 반례 : f(x) = 1/x의 한 역도함수는 ln(x) (x > 0), ln(-x) + 3 (x < 0)입니다. x = 0을 기점으로 적분상수가 달라질 수가 있습니다.

25. (거짓) : 극값은 오직 "국소적인 최대최소가 되도록 하는 열린 구간의 존재 여부"로 결정됩니다. 연속성이나 미분가능성에 관한 언급이 없습니다.

이런 식으로 연속성, 미분가능성과 전혀 관계 없이 극값과 극점을 정의할 수 있습니다.

26. (거짓) : 역시 거짓입니다. 극값, 극점은 미분가능성과 전혀 별개입니다. 극점에서 도함수의 함숫값이 0이 된다는 페르마의 정리는 미분가능하다는 조건이 있을 때의 이야기죠.

27. (거짓) : 모든 점에서 미분불가능한 예시를 앞에서 제시했었습니다. (수직 접선을 그릴 수 있는 경우도 없다는 것을 따로 증명해야하는데, 이건 아직 못해봤네요. 수직 접선 때문에 조금 애매합니다.)

28. (거짓) : 불연속점이 무한히 많아도 적분이 가능할 수 있습니다. '셀 수 있는 무한'이면 가능한데, '셀 수 없는 무한'이면 불가능합니다. 가령, 토메 함수라는 병리적 함수는 모든 무리수에서 연속이지만 모든 유리수에서 불연속입니다. 유리수는 '셀 수 있는 무한'이므로 적분이 가능하겠죠.  (https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function) 반대로 모든 무리수에서 불연속, 또는 모든 실수에서 불연속인 함수들은 적분이 불가능합니다. (리만 적분만 다루기로 합니다. 르벡 적분은 또 이야기가 달라서..)

29. (거짓) : f(x) = x^{3}은 분명 x = 0에서 미분가능하지만 그 역함수는 x = 0에서 수직 접선을 가지게 되어 미분불가능합니다.

30. (거짓) : 앞서 언급한 디리클레 함수 f(x) = 1 (x는 유리수), 0 (x는 무리수)를 합성한 f(f(x))는 그 함숫값이 항상 1이 되어 연속함수가 됩니다. 모든 점에서 불연속인 함수 두 개를 합성했더니 실수 전체에서 연속인 함수가 나왔네요.

31. (거짓) : 다음 예시가 존재합니다. f(x) = x (x는 유리수), -x (x는 무리수)

이 함수는 0을 제외한 모든 점에서 불연속이므로, 0 근방의 개구간을 아무리 작게 잡아도 무한히 많은 0이 아닌 유리수와 무리수가 개구간에 포함되게 되어 불연속점이 무한히 많이 존재하게 됩니다.

여기서 x = 0에서 연속이 아니어야 한다는 조건이 추가되어도 예시가 존재합니다. 

32. (거짓) : f(x) = 1/x (x != 0), 0 (x = 0), g(x) = x^{2}이 반례입니다. f(x) = |x|, g(x) = x도 있겠네요.

33. (거짓) : 앞서 언급한 디리클레 함수 f(x) = 1 (x는 유리수), 0 (x는 무리수)를 합성한 f(f(x))는 그 함숫값이 항상 1이 되어 실수 전체에서 미분가능합니다. 하지만 f(x)는 모든 곳에서 미분도 불가능하고 연속도 아닙니다. f(x) = g(x) = |x|도 있겠네요.

34. (거짓) : f의 연속 조건이 필요합니다. f(x) = [ x ] (가우스 함수)이면 불연속점을 기준으로 범위를 나누어 정적분이 가능하지만, 그 결과는 미분이 불가능하죠. 다르부 정리에 의해 f(x) = [ x ]로 놓는 순간 f의 부정적분이 존재할 수 없어모순이기도 합니다.

35. (참) : 미적분학 기본정리 파트 2(FTC II)에 의해 성립합니다. 보통의 교재에는 연속 조건이 있을 텐데, 사실은 연속이 아니고 적분이 가능하기만 하더라도 성립합니다.

(루딘 PMA 교재에서 가져왔습니다.)

36. (거짓) : 고등학교에서 배우는 '급수를 정적분으로 바꾸기' 테크닉을 생각하고 참이라고 할 수 있지만, 거짓입니다. 반례는 우리의 디리클레 함수 f(x) = 1 (x는 유리수), 0 (x는 무리수)입니다. 1 + k/n이 항상 유리수이므로 f(1 + k/n)는 항상 1의 값을 가지고, 따라서 극한 안의 식 자체가 1이 되어버려서 극한도 1이지만 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속이므로 리만 적분이 불가능합니다.

37. (거짓) : 이번에도 디리클레 함수에서 아이디어를 얻은 반례입니다. f(x) = 1 (x는 유리수), -1 (x는 무리수). |f(x)| = 1이므로 |f|는 적분 가능하지만 f는 모든 점에서 불연속이 되어 (리만) 적분 불가능합니다.

38. (거짓) : 원주율 pi는 초월수이므로 그 어떤 유리계수 다항방정식의 근도 될 수 없습니다.

증명: https://orbi.kr/00062928226/%5B%EC%B9%BC%EB%9F%BC%5D%20%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8%EC%9D%98%20%EB%AC%B4%EB%A6%AC%EC%84%B1%20%EC%A6%9D%EB%AA%85

39, 40. (거짓) : 켤레근 정리를 생각하고 참이라고 했다가 큰일나는 문제입니다.

x^3 - 2 = 0의 한 근은 sqrt(2^(2/3))이지만 그렇다고 -sqrt(2^(2/3))도 근인 것은 아닙니다.

sqrt(A)에서 반드시 A가 유리수이고, sqrt(A)가 무리수라는 조건이 있어야만 성립하는겁니다.

 대부분의 교과서와 교재, 강의에서 위 사진처럼 설명을 하는데, 다 틀린겁니다. 위에서도 sqrt(2^(2/3))은 무리수였잖아요.