2023학년도 6월 22번 논리적 풀이
함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0에서도 연속일 것입니다. f(x)도 연속함수이니 그럼 다음이 성립합니다.
이제 저 극한을 해석해줘야하는데 우선 (분모)->0일 때 t=-3, t=6일 때가 아니면 수렴하니 (분자)->0이어야 겠습니다. 그럼 g(-3)=0임을 알 수 있습니다. (근데 g(x) 정의된 것 보면 당연하긴 하죠)
이제 극한이 부정형이고 분자에 루트와 -가 있으니 유리화를 해봅시다.
한결 편한 형태가 되었네요. 이때 x->-3인 상황이므로 g(x)는 x<0의 형태를 가져와야합니다.
자 그럼 ㅣabㅣ=ㅣaㅣ*ㅣbㅣ임을 활용해주면
가 되겠습니다. ㅣx+3ㅣ을 편하게 생각하기 위해 이제 우극한, 좌극한 따로 생각해봅시다.
이때 (분모)->0인데 (분자)->0이 아니면 발산하니 f(-3)=0일 것입니다. (f(x)는 연속함수)
이때 f(x)가 최고차항의 계수가 1인 이차함수이니 다음과 같이 식을 작성할 수 있습니다.
그럼 이 형태를 다시 집어넣어 정리해주면
분모가 0이 아닐 때 다음으로 수렴할 것입니다.
또 좌극한도 마찬가지로 생각해주면
그럼 g(t)가 0이 아니면 극한이 수렴함을 알 수 있습니다.
이어서 극한이 존재하지 않는 상황은 g(t)=0인 상황과도 같음을 알 수 있습니다.
따라서 극한이 존재하지 않을 때의 t값이 -3과 6이라는 것은 다음을 의미합니다.
동시에 이외에는 방정식 g(x)=0의 근이 없음을 의미합니다.
g(-3)=0은 자명하고 우리가 얻은 것은 g(6)=0입니다. 그럼
이때 a는 양수이기에 f(6-b)=0임을 알 수 있습니다. 그럼 6-b=-3 or 6-b=k 이므로 b=9 or b=6-k 입니다.
그런데 만약 b=6-k라면 f(x-b)=f(x+k-6)=(x+k-3)(x-6).
이때 방정식 g(x)=0은 x<0에서 -3, k를 근으로 갖고 x>=0에서 3-k, 6을 근올 갖습니다.
-3과 3-k가 일치하거나 6과 k가 일치할 때는 k=6인 상황이므로 b=0이 되어 b>3 조건에 모순입니다.
k와 3-k가 일치할 때는 k=3/2인 상황이므로 방정식 g(x)=0이 x>=0에서 3/2를 근으로 가져 모순입니다.
k와 -3이 일치하고 3-k와 6이 일치할 때, k=-3일 때는 상황이 성립하며 b=9입니다.
따라서 b=9 확정입니다. (b=6-k일 때 가능한 조합이며, b=9일 때와 같은 상황이니)
그럼 다시 돌아와 f(x-b)=f(x-9)=(x-6)(x-k-9) 입니다.
이때 방정식 g(x)=0은 x<0에서 -3, k를 근으로 갖고 x>=0에서 6, k+9를 근으로 갖습니다.
-3과 k+9가 일치하거나 k와 6이 일치할 때는 각각 -12, 15라는 근이 생기므로 안되고
-3과 k가 일치하고 6과 k+9가 일치하는, 즉 k=-3일 때가 적절하겠습니다.
이제 f(x) 결정됩니다.
g(x) 연속 조건으로부터 처음 얻었던 정보에 b=9를 활용해주면
f(0)=9이고 f(-9)=36이므로 a=3/4가 될 것입니다.
이제 답 구해주면 끝입니다.
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금테 책참 ㄷㄷ 멋져요!
감사합니다! 입시 커뮤니티에서 팔로워를 300명이나 모으다니... 수능 수학 말고 경제학을 좀 공부해야할텐데 ㅜㅜ 가까운 미래에 '내가 생각하는 경제학에 대하여' 같은 글로 돌아올 생각을 해야겠네요
오 멋지네요 기대하겠습니다!
감사합니다, 이상 님도 오늘 남은 2시간 가량과 내일 하루 파이팅입니다!
오류가 있네요. 문제의 극한식의 -3에서의 좌극한과 우극한 모두g(t)=\=0일 때, |k+3|/2|g(t)|입니다. 따라서 f(x)를 확정하기 위해선 b>3이라는 조건을 활용해야 합니다.
감사합니다, 수정했습니다. 중간에 ㅣx+3ㅣ 절댓값 푸는 과정에서 -를 한 번 빼먹었었네요. 풀이 쓰다보니 b>3 조건은 k 후보값 찾는 논리로 자연스레 쓰인 것 같은데 확인해주시면 감사드리겠습니다.
ebs 해설 확인해보고 왔는데 k를 b에 대해 표현하면 b>3 조건으로 x>=0에서 g(x)의 함숫값이 0이 될 때가 6으로 유일함을 보일 수 있군요!
그럼 g(t)가 0이 아니면 극한이 수렴함을 알 수 있습니다.
이어서 극한이 존재하지 않는 상황은 g(t)=0인 상황과도 같음을 알 수 있습니다
만약 여기서 k=-3이라고 하면 g(t)=0이라 하더라도 무조건 발산하는게 아닌 0/0꼴이 나오니까 다시 극한식 계산을 해야하는 것 아닌가요? k=-3일 때와 k≠-3인 경우를 나눠서 계산하다가 실패했는데 제 생각에 어디가 잘못됐는지 알려주실 수 있나요ㅜㅜ