149번 설명해드리겠습니다

안녕하세요? 지인선입니다.

149번 궁금해하시는 분들이 많이 계셔서, 원래는 손풀이만 드리려 했는데, 조금 그래도 사고과정 얘기하면서 

더 자세히 얘기드리려구요!

넵 문제 설명을 드리면, 

우선 g(x)라는 함수 자체가 f(x)의 부호가 바뀌는 지점에서 변화합니다.

그런데 f(x)가 삼차함수이기에, 부호 변화지점이 필연적으로 하나는 존재합니다.

그리고 g(x)는 연속함수이고, x=a에서만 미분불가능하다 합니다.

애초에 g(x)의 변환지점이 아닌 곳에선 당연히 미분가능이므로, f(a)=0이고 x=a주변에서 f(x)의 부호가 바뀜을 알 수 있어요.

그리고 이제 a로서 가능한 값들을 추려보죠.

g(x)가 연속이므로, x=a주변에서 g(x)의 값인 a^3+f(a)와 a-f(a)의 값이 같습니다. f(a)=0이니까 a^3=a이고

a=-1, 0, 1 중에서만 가능합니다.

이제 g(a-1)=-2라는 조건을 봅시다.

위의 손풀이에서 볼 수 있듯이, a=-1인 경우에만 이 조건을 만족시키는 것이 가능합니다.

대충 왜 그런지를 설명드리자면, 함수를 잘 보시면 f(x)가 0이상일 때는 x^3+f(x)입니다. 즉, 이 값은 x^3이상입니다.

또, f(x)<0일 때에는 x-f(x), 즉, x보다 큽니다. 

만약 a가 0이거나 1이라면, 값이 커져서 g의 값이 -2가 될 수 없어요.

유일하게 가능한 경우가 손풀이에서 보시듯 a=-1이고 f(-2)=6인 경우입니다.

따라서 g(1)=1도 아실 수 있는데, 이는 f(1)=0을 의미하며, 지금 대충 개형이 최고차항의 계수가 음수이고,

f(-2)=6, f(-1)=0, f(1)=0입니다.

나머지 하나의 조건을 구해야하는데, 지금 주목하셔야할 게 f(1)=0이어서 g의 변환지점이 될 수도 있다는 점입니다.

그런데 만약 부호 변화가 일어난다고 하면, 

좌미분계수와 우미분계수가 같아야하므로 3+f '(1)=1-f '(1), 즉 f '(1)=-1입니다. 

그런데 f '(1)=-1이라면, x<1에서 f(x)>0이고, x가 -1보다 살짝 큰 경우에는 f(x)<0이므로 

g가 연속이 되려면 또 f(0)=0이어야합니다.

점점 조건이 많아지죠? 직접 계산해보시면 저 조건들을 다 만족하는 삼차함수는 없고, 모순입니다.

따라서 저 지점에서 g의 변환이 일어나서는 안됩니다. 그럼 접해야겠죠.

따라서 f(x)=-2/3 (x+1)(x-1)^2이고,

g(g(a+3))=g(g(2))=g(2-f(2))=g(4)=4-f(4)=34입니다.

추론과정을 잘 이해해주세요!