수학영역에 대하여 - 세 단계에 걸친 공부
수학영역을 완성하는 방법은 크게 세 단계로 볼 수 있습니다.
1단계 기본개념을 숙지하는 단계
2단계 여러가지 문제를 풀면서 기본개념을 "숙달"시키면서 사고를 확장하는 단계
3단계 다시 "첫번쨰" 기본개념으로 돌아가는 단계
교과서의 기본개념을 완벽히 숙지하고 이해하는 단계
[교과서의 본문]에 서술된 내용은 이해 뿐만아니라
그 결과까지 완벽하게 암기할 수 있도록 해야 합니다. (교과서 본문 = 수능 출제범위 = 고교과정)
하지만
교과서 예제 등에 나와있는 "케일리 헤밀턴 정리"와 같은 것들은 외울 필요가 없습니다.
(여기서 문제에 나와있는 "케일리 헤밀턴 정리"와 같은 개념은 수능출제범위가 아니기 때문입니다.)
- 지학사 적분과통계 64p
여기 교과서 본문에 "둘러싸인 부분"을 회전하는 회전체의 부피를 구하는 공식은
교과서 본문에 있으므로 명백히 "고교과정"에 있는 공식이라 할 수 있고
반드시 외워야 합니다.
이 다음 교과서 예제 문제로 다음과 같은 문제가 있군요.
이 예제 문제를 푸는 발상은 다음과 같습니다.
1.
둘러싸인 부분의 회전체를 구해야하므로 교과서의 공식
을 적용해야 한다.
그런데 함수 f(x), g(x)가 주어져 있지 않으므로
함수 f(x), g(x)를 직접 찾아야 한다.
[적분과 통계 외 과정 - 고1수학에서 배울수있는 내용]
2.
[적분과 통계 과정] - Critical Point
3.
여러분은 이 문제를 풀면서, "교과서의 공식"인
을 적용하는 그 순간에 핵심(Critical Point)을 두고 공부를 해야 합니다.
(물론 이 문제에서 1번 3번에서 말하는 적분과통계 외 과정의 능력과 계산 능력등은 평소에 훈련을 많이 해야 하는 부분이다.)
이제 교과서 익힘책을 보면 다음과 같은 프로젝트가 있습니다.
이제 이 내용을 보고 교과서의 공식
을 활용해서 파푸스 굴딘의 정리까지 생각을 확장해 보면 됩니다.
교과서와 교과서 익힘책에서도 학생들이 교과서의 공식
을 숙달시킬 수 있도록, 그리고 사고의 확장 시킬 수 있도록
"파푸스 굴딘의 정리"라는 유명한 수학적 소재를 예를 들어 준것입니다.
하지만 여기서
"파푸스 굴딘의 정리는 교과서에 있으니 고교과정이다."
"파푸스 굴딘의 정리는 유용하니 암기하자,"
까지 나아간다면 완전히 틀린 생각입니다.
먼저 고교과정은 교과서본문까지이고 수능에 출제되는것 또한 교과서본문에서 해결할 수 있도록 문제가 출제됩니다.
즉
교과서에 있는 "파푸스 굴딘의 정리"를 공부할 때도
교과서의 공식
을 훈련하는 수단으로 활용해야 하는 것이지 절대로 암기한다거나, 고교과정으로 착각한다거나 하면 안됩니다.
수능 문제는 반드시 기본적인 교과서 발상으로 풀리게 되어있습니다.
간혹, 결과를 외우는 것이 논술에서 도움이 되지 않느냐 라고 할 수 있는데,
논술에서 굴딘의 정리 공식으로 문제를 바로 풀고 나오면 몇점일까요? 그냥 0점을 줄것입니다.
파푸스 굴딘의 정리는 여러대학 논술에 출제된적이있고 특히 고려대 논술에는 두번이나 출제가 되었었는데
이때 "굴딘의 정리"의 공식을 적용하는 것이 아니라
교과서의 공식
을 활용해서 차근차근 논리적으로 풀어나가는 것이 중요하도록 출제가 되었습니다. (즉 공식으로 그냥 적고나오면 0점)
즉
1단계
교과서의 공식
을 암기하고 이해하는 단계
2단계
교과서의 공식
을
여러 문제나, 교과서의 탐구활동 등의 소재를 통해 훈련하는 단계
-> 이때 기본 공식에서 파생되는 여러가지 공식을 만날 수 있지만
이것 하나라는 것을 명심하면서, 생각의 폭을 넓히고, 기본공식을 훈련하는 연습을 하는 것이 중요하다.
3단계
2단계에서 여러가지 문제나 교과서의 탐구활동등에서 다양한 개념들을 만났지만
결국
교과서의 기본개념인
이 중요하다는 것을 알고, 수능에서는 "그것만" 출제된 다는 것을 깨닫고
기출에 적용하면서 확인해보는 단계
즉 2단계까지는 다양한 경험(교과서에서 제시하는 방법)을 해보면서 사고를 넓혀 나가지만
3 단계는 수능 60일쯤 남았을때부터
철저하게 교과서 공식만으로 자신의 뇌를 무장하는 것으로 마무리하면 됩니다.
교과서의 탐구활동 등을 통해 확장시켰던 생각을 다시 좁혀나가는 단계 입니다.
이렇게 뇌를 최대한 컴팩트하게 만들어서 시험장으로 들어가야 합니다.
요약을 해보면 다음과 같습니다.
1단계 기본개념을 숙지하는 단계
-> 교과서 개념을 정확하게 숙지하고 이해하고 암기
2단계 여러가지 문제를 풀면서 기본개념을 "숙달"시키면서 사고를 확장하는 단계
-> 여러가지 문제를 풀고, 교과서의 탐구활동 등을 통해 다양한 개념을 접하면서
사고를 확장하는 단계, 다만 이때 1단계의 중요성을 잊지 말것.
여기서 수능, 평가원, 교육청, EBS 등의 문제를 풀어보면
수능, 평가원은 모든 문제가 1단계의 개념에서 문제가 해결되지만
다른 문제들은 가끔 벗어나기도 한다는 것을 깨달으면 더 좋다.
3단계 다시 "첫번쨰" 기본개념으로 돌아가는 단계
-> 2단계가 잘 마무리되면 수능 문제는 "교과서 개념"만으로 다 풀린다는 것을 알 수 있다.
따라서 수능시험장에 가기전에 뇌를 최대한 컴펙트하게 만드는 과정이 필수적이다.
주변에 수학을 정말 잘하는 친구들을 보면 대부분은 2단계를 거쳤습니다.
실제로 수능문제는 "교과서 개념"으로 모두 해결할 수 있지만
계산능력, 응용능력, 사고능력, 공간지각력 등, 다른 능력 얼마나 필요하냐에 따라 2점 3점 4점 등으로 난이도가 나뉩니다.
쉬운 문제나 어려운 문제나 사용되는 교과서 핵심 개념(Critical Point)은 똑같지만
어려운 문제는 반드시 다른 능력이 반드시 더 부가적으로 필요하게 되어있습니다.
(부가적인 능력에 대해서는 두번째 글에서 더 자세하게 다루도록 하겠습니다.)
총 정리 해보면
수능수학을 잘보기 위해서는
[1단계] [3단계]에서 기본개념을 완전히 숙지해야하고
[2단계]에서 사고력, 계산능력, 응용력 등 수학문제를 푸는데 필요한 근본적인 능력을 길러야 합니다.
참고해야할 글 -> http://orbi.kr/0003666080
[1단계] [3단계]에서 배워야 하는 "핵심개념" = "이면각의 크기의 정의"
[2단계]에서 배워야 하는 삼각형의 닮음, 코사인 정리 등 다양한 수학적 능력이 활용되는 대표적인 예
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엑박인 그림 있으면 말해주세요 ㅠ
저두여
아직도 엑박인가요?
잘 보입니다
형 아직도 가운데 두개정도 엑박이에요.
스크린샷 네이버계정으로 복붙하면 보통 짤릴때가 있어요 그래서 네이버말고 티스토리나 이글루스같은 다른 계정을 활용하는게 좋음
^___^
파푸스 굴딘 정리가 오르비에서 왜이렇게 유명한가요? 제가 예전에 "교과서, 익힘책을 얕보지 마라"라는 글을 쓴 것 중에서 극히 일부분 한줄로 처리한 부분을 너무 확대 재해석하는 것이 아닌가 하네요...
제목 그대로, 교과서, 익힘책에 관한 글이었는데, 그 글의 취지를 생각해 줬으면 합니다.
사족에 너무 민감하게 반응하는 것이 아닌가라는 생각입니다.
제 글의 취지는 파푸스의 정리가 아닌데.. 왜그러시는지..
1단계 2단계 3단계에 초점을 맞춘 글입니다. 다시 읽어주세요..
민감하게 반응하신듯 합니다.
네 님이 쓰신 글의 취지는 알겠는데요, 그 취지를 살리기 위해 예로든 파푸스 정리가 예전 제가 쓴 글의 일부분과 일치하는 것은 우연이라고 봐야 하는지요?
저도 민감하게는 생각하지는 않겠는데, 제 글의 일부 사족을 확대 재생산하는 것이라 조금 불편해서 그럽니다.
말이 아닌 글이라 조심해야겠다는 생각이 듭니다.
저는 코난쌤 글을 제대로 읽어본적이없는데
교과서 익힘책이 중요하다는 글이면 제 글과 방향을 함께할텐데요...
저는 제가 직접 수능, 평가원에 여러번 응시하고 학생들 가르치면서
느낀점을 글로 옮겼을 뿐입니다.
이글이 무슨 파푸스 굴딘의정리에 대해 쓴글도아니구요;;
제가 무슨 의도적으로 코난쌤 글을 읽고
확대 재생산한다고 말하는건 정말 기분이 나쁘네요.
그리고 학생들보는 학습글에 이런댓글을 왜다시는지요.
쪽지로해주세요.
한완수,ㅋㅋㅋㅡㅋㅋㅋㄹㅋㅋㅋㅡㅋㅎㅋㅋㅋ
좋은글잘봤습니다~
그냥 해원님이 단순하게 사례로 쓰신 것 같은뎅ㅋㅋ
오르비에선 코난샘보단 난만한님이 훨씬 네임드하세요
네임드얘기가 왜나옵니까
무슨 힘싸움하는거도아니고
오르비 이용하는 모든 사람이 본인의 글을 읽지는 않는다는걸 아셨으면 합니다.
당연한 내용인데다 흔한 사례이다보니, 여러사람의 글에 중복돼서 다뤄지는것일테죠...
느므느므공감합니다 ㅜㅜ 감사합니다
화이팅이요 ㅋㅋㅋ
지금 고민중이던 공부방향이 잡혔습니다...감사합니다...
이걸보고 쎈같은 유형문제집을 안풀고 교과서 보고 바로 기출을 해야겠다는 생각을 했는데 괜찮은 생각일까요??
기출과 교과서로 하겠다면
교과서 -> 기출 3점 -> 교과서 -> 기출 4점
이런식으로 하는것도 좋을것같습니다.
하지만 쎈을 공부하더라도 제가 쓴 글을 가슴속에 새기고 공부하면
괜찮습니다.
난만한님은 기출 최소 몇회독 정도가 적당하다고 생각하시나요?참고로 전 문과입니다...
좋은 글 정말 감사합니다!
종종 와서 다시 읽을게요 ㅠㅠ
수학 교과서 추천점요 ㅎㅎ
반복되는 공식에서 파이가 묶여있지 않은걸로 보이는데 제가 잘못 생각하구있는건가요?
어 저도 ㅋㅋㅋㅋㅋ 그렇게 생각했어요...
파이가 괄호쳐서 들어가야하는데 괄호 빼먹으신듯..
글 내용 자체는 너무 좋은데.. 옥의티인듯요..
근데 이런 글 인쇄하고 싶은데 어떻게 하죠??
파일을 따로 올리지 않으면 안되는건가요;;;?
개인적으로 이 칼럼을 한완수 맨앞쪽에 실엇으면 어땠을까 생각을 해보네요
한완수 공부방향을 보다 분명하게 잡아줄수 있을듯