증명을 하는 이유
칼럼을 겸한 쪽지 Q&A 기록용입니다.
도움이 되시길.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은,
교과서에 나와 있는 어떤 정리가
참이 되는 이유입니다.
예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠.
그게 참인 이유가 증명이에요.
이걸 배우지 않은 상태에서
혼자서 증명하는 것은 어렵습니다.
증명은 과거에 누군가
엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에,
그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠.
그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서
수학이 발전해 온 것이고,
고등학교 교과서는
그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다.
예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분
순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이
수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가.
1) 증명에는 발상이 있다.
고난도 문제를 풀어봤다면
알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다.
도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다,
함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등.
문제만 풀어온 학생이라면
이러한 발상을 문제를 풀어야
배울 수 있는 거라고 생각하겠지만,
사실 수능에 나오는 모든 발상은
교과서 증명 안에 다 들어있습니다.
그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 오늘 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데,
글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서
인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠?
증명을 배운다는 것은 마치
살아있는 인간을 배우기 전에
해부학을 배운다는 것과 같습니다.
이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로
교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요.
따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로
기출 문제를 풀게 되면,
문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라,
문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요.
그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다.
따라서 기출을 보기 전에
교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
2) 증명에는 정의가 있다.
증명을 해야 하는 두번째 이유.
미분가능한 함수는 연속함수이다
라는 것을 증명할 수 있나요?
이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요.
대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다.
왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의
정의를 정확히 모르거든요.
느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면,
매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다.
그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가,
예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라,
라는 문제가 있을 때 대부분 학생은
1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다.
라는 순서대로 문제를 풉니다.
이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데,
정의를 잘 모르기 때문이구요,
저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데
4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요.
문제풀이의 접근방법은 반드시
정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,
오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
3) 증명에는 논리가 있다
증명을 해야 하는 세번째 이유.
직접 증명을 써보면 알겠지만,
아는 내용이라도
논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다.
그건 학생들이 아직 논리적 사고력
또는 표현력이 부족하기 때문이죠.
교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다.
복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에
누구나 이해할 수 있는데,
그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요.
강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만
똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다.
즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고,
연습입니다.
수학은 그것을 연습하는 학문이에요.
고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고
대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만,
중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이
논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
야심한 밤에 2
“3시”
-
고1 끝나고 바로 학원 끊고 메가패스 사서 현우진 커리 타는 중입니다 겨울방학 때...
-
만점 기트남인 vs 만점 통통이 누가 더 많을까
-
이거 표로 나오는거 언제 발표되나요? 전국 몇등일지 넘 궁금쓰~
-
버근가 4
ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
삼. 당신은 삼이라는 숫자를 사랑하십니까. 이 수를 헤아릴 때면 나는 까닭 없는...
-
라유투자은행으로 다시 이름 바꿀께요
-
오오 오오오 두산의 허경민
-
1통이들은 많이 없음? 16
오르비 성1적 인증에서나 보이고 현실에선 거의 못보네
-
과탐 7
작년까지 1하다가 올해 진짜 뭔 자신감인지 모르겠지만 생2 했는디 과탐 1등급 처음 받아봄ㅜ ㄹㅇ
-
텔그 이거맞나 1
물어보고싶은데 물어볼곳이없네
-
반영비가 뭐가 다른가
-
작년엔 하루에 2번씩 했는데 올핸 하루에 한번으로 줄임
-
우왕 추억이다…
-
앞이 캄캄하네ㅋㅋㅋㅋ...................... 현타 씨게 온다 하아......
-
고2 정시 파이터인데 투과목 해보고 싶은데 어떰? 배기범이 난이도는 많이 차이 안 난다하던데
-
지금 adhd 있어서 복용하는데 하…체질상? 인지 콘서타 36mg 복용중인데...
-
다가와 다가와
-
저격합니다 18
네
-
재수하고 24수능, 실망했지만 타협했고 건대 대형공대 들어갔고 1학년 과탑까지 먹음...
-
검사되고싶다 1
근데 마법사도 좋은데 뭘 해야할질 모르겠네
-
혹시 이정도로 수학 부족한가요? 9모 때 수학 높2까지 올리고 싶어요..
-
검사가 되려면… 0
제목 그대로 검사가 되려면 보통 몇년 정도 잡아야 하나요? 대학 입학 부터 검찰에 들어가기까지…
-
안빈낙도하고싶네 6
-
약간 덜렁거리는데 나름 연상이랍시고 리드하려 하다가 지도 모쏠이라서 약간 어설픈 그런 누나
-
덕코 안줘
-
오노추 3
아실분들은 알듯...
-
이걸안해?왜안해?해줘!해줘!해줘!
-
근데 그게 아니더라고 외모는 변했어도 사람 자체가 설레더라고
-
2009기출 부터 이제 2016기출까지 왔는데 언제 2024기출까지 보냐.. 특히...
-
고2 현역 정시파이터인데 약대를 목표로 하고 있음 중간고사에서 어느정도 공부 잘하는...
-
이왜진
-
난 새벽반임? 5
아침에도 점심에도 저녁에도 밤에도 새벽에도 항상 나타나는데 새벽반인가?
-
백분위 82면 3등급 후반인가요?
-
오랜만입니다…. 화작 미적 사문 지구인데… 뭐 하나 특출나게 잘하면 몰빵 공부법...
-
더러운 뒷골목을 헤메고 다녀도~
-
으흐흐
-
연애 기원
-
기출을 한번 풀면 다시 풀 때는 안틀리는데 똑같은 문제를 변형해서 내면 못풂 이거...
-
제발 수능때도
-
당신께 드리고 싶은 말이에요
-
국장 질문.. 7
제가 반수생이라 학점이 진짜 조져놨는데요.. 제가 내년에 학교를 바꿔서 신입생으로...
-
한번 풀면 시간차 두고 풀어도 22 30급 아니면 다시 풀 때 그냥 바로 풀리지 않음?
-
수학 n제 0
6모 미적 73 n제는 엔티켓 시즌1 빅포텐 12 풀고 하사십1 풀때마다 대가리...
-
서울 한복판 특히 시가지 내에서 시속 100 정도로 역주행 차량은 제네시스 G80...
-
운이 좋았다
-
모두 화이팅!!
-
선착순 1명 28
제 생일을 가장 먼저 맞추는 오뿌이에게 천덕
hoxy... 새로운 npc의 탄생...?
헉 진짜네
증명은 그럼 독학하고 싶으면 학교에서 썻던 교과서로 하면 될까요?
네~ 교과서에 다 나와있고 독학이니까 설명이 필요하면 유튜브 검색해도 나올거에요.
선생님 칼럼보면서 항상 많은 도움 받고가요... 좋은 글 감사합니다!
도움이 되었다니 기쁘네요. 감사합니다.
선생님 그러면 미분가능성은 어떻게 해야 맞는 풀이인가요?
미분계수가 존재하는 것을 미분가능이라고 해요.