수리영역 기출문제의 논리적 접근 (11년 수능)
지수/로그함수 그래프 해석 문제 중 극악의 난이도를 자랑하는 걸로 유명한 문제입니다.
일단 수능적으로 접근해본다면
ㄱ 보기는 '초월함수에 관한 방정식의 일반적인 해법은 없다.' 라는 사실을 통해 의 값을 직접적으로 구할 수 없음을 알고,
주어진 근방의 값은 (1/2)과 1을 그래프에서 대입하여 대소를 비교해보면 됩니다.
'초월함수에 관한 방정식의 일반적인 해법은 없다.'는 것을 알면 그 방정식의 특정값을 구하려는 불필요한 시도를 피할 수 있습니다.
실제로 올해 13년 6월 평가원 30번 문제도 위와 같은 사실을 바탕으로, f(n) 값을 구하려할 때
n을 대입하여 a를 구해나가려는 것보단 a값을 설정한 후 f(n)값을 구하는 것이 더 효율적이라는 판단을 할 수 있었습니다.
또한 위의 문제와 같이 지수/로그함수 그래프 해석문제에서 어떤 상수와 교점의 x,y좌표값을 비교하려할 때도
이런 생각을 가지고 접근한다면 시간을 많이 절약할 수 있을 것입니다.
ㄴ 보기는 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 빨리 알아채는 것이 핵심이었습니다.
실제로 이 해의 6,9월 모의평가에서 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 파악해야 하는 문제가 모두 나왔고
그게 그대로 수능까지 연결되어 나왔습니다. 학생들이 그 해 치르는 6,9월 모의평가의 분석이 얼마나 중요한 지 알 수 있는 부분입니다.
ㄷ 보기는 ㄴ에서 알아낸 역함수 관계를 그대로 이용하여 문제를 해결합니다. ㄱ ㄴ ㄷ 연관성을 파악해야 하는 문제죠.
(이 문제에서는 ㄱ이 독립적이긴 합니다.)
그리고 이런 부등식을 해석할 때는 항상 '기울기'를 염두에 두고 있어야 합니다.
지수/로그함수 그래프 해석문제의 난이도가 급격하게 올라갈 수 있는 부분이 바로 이 '기울기로의 해석'이기 때문에
어떤 식으로 응용되는지 연습을 통해서 꼭 익혀보셔야 합니다.
(하지만 요즘은 이 패턴의 문제가 많이 사라지는 추세이기 때문에 너무 많은 시간을 투자하시는 것은 비추입니다.)
ㄱ ㄴ ㄷ 보기의 연관성이 있는지 없는지 파악하는 부분과 대소관계를 '기울기'로 해석해보는 안목을 이 문제로써 알아가시면 되겠습니다.
이제 이 문제의 논리적 해석을 시작해보겠습니다. ㄴ 보기는 역함수 관계라는 것만 밝혀주면 딱히 비약없이 논리가 진행됩니다.
따라서 그래프에서만 확인해보았던 ㄱ 보기와 ㄷ 보기를 어떻게 엄밀하게 푸는지를 소개해보겠습니다.
이 증명의 아이디어는 ㄱ 보기를
로 바꿔서 생각하는 겁니다. 이렇게 생각하면 중간값의 정리를 사용해야한다는 생각이 바로 들기 때문에 쉽게 증명할 수 있습니다.
참고로 위의 방정식의 근이 유일하다는 것을 그냥 넘어갔는데, 문제의 조건이 그래프로 주어져있고,
그래프에서 근이 유일함을 확인할 수 있기 때문에 증명을 따로 하지는 않았습니다.
그러나 만약에 이 부분을 증명해야 한다면
가 감소함수이면서 ((1/2),1)를 포함하는 어떤 구간을 잡아서 보이면 됩니다.
감소함수 f(x)가 0이 되는 x는 하나밖에 없음이 자명하기 때문입니다.
참고로 유일성에 대한 증명은 그 요소가 2개가 있다고 가정한 후 결과적으로 그 2개가 같음을 보이면 되는데,
제가 이 글을 연재하면서 보니 아까처럼 함수를 가지고 와서 그 함수가 증가 또는 감소임을 이용하는 것도 많은 거 같습니다.
![클릭하시면 이미지뷰어로 보여줍니다](http://data.ygosu.com/editor/attach/2/20121226/tUf8w5WEBVThETHFtu4J3GQV.png)
그래프에서는 기울기로 확인한 것을 함수로 만들어서 확인해본 겁니다.
그래프에서는 기울기로 확인한 것을 함수로 만들어서 확인해본 겁니다.
함수로 만드는 사고과정을 정리해보자면 (1,0)과 이어지는 점들을 여러개 조사해보면서 기울기의 값의 변화 양상을 추론해보고,
그 양상이 감소임을 알아채서 그것을 함수로 만든 겁니다.
여기서 f'(x)는 부호판별만 하면 되니까 g(x)라는 함수의 부호가 어떻게 되는지만 보면 되는데,
공교롭게도 g(x)>0라고 나와주네요.
이를 통해 증명에는 직관이 전혀 쓰이면 안 되지만, 증명을 시작함에 있어서는 직관적인 안목이 아주 중요함을 알 수 있을 겁니다.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
저번에도 이런 글을 하나 올렸는데 앞으로 자주 올려볼게요.
좋은 실력은 아니라서 여기서 검토 좀 받고 다듬어야 할 필요성을 느꼈습니다.
오류 있으면 지적해주세요 감사히 받겠습니다.
P.S 블로그에도 이 글을 연재하고 있는데 현재 10편 정도 작성했습니다.
블로그에 올려놨다가 어느 정도 정확성이 있다고 판단 되면 오르비에도 올리려고 하는데
혹시 시간 남으신다면 들러서 의견 나눠받았으면 좋겠네요.
그리고 이외의 어떤 질문도 다 받습니다 ㅇㅇ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
혹시 이정도로 수학 부족한가요? 9모 때 수학 높2까지 올리고 싶어요..
-
검사가 되려면… 0
제목 그대로 검사가 되려면 보통 몇년 정도 잡아야 하나요? 대학 입학 부터 검찰에 들어가기까지…
-
안빈낙도하고싶네 6
-
약간 덜렁거리는데 나름 연상이랍시고 리드하려 하다가 지도 모쏠이라서 약간 어설픈 그런 누나
-
덕코 안줘
-
오노추 3
아실분들은 알듯...
-
근데 그게 아니더라고 외모는 변했어도 사람 자체가 설레더라고
-
2009기출 부터 이제 2016기출까지 왔는데 언제 2024기출까지 보냐.. 특히...
-
고2 현역 정시파이터인데 약대를 목표로 하고 있음 중간고사에서 어느정도 공부 잘하는...
-
이왜진
-
난 새벽반임? 5
아침에도 점심에도 저녁에도 밤에도 새벽에도 항상 나타나는데 새벽반인가?
-
백분위 82면 3등급 후반인가요?
-
오랜만입니다…. 화작 미적 사문 지구인데… 뭐 하나 특출나게 잘하면 몰빵 공부법...
-
더러운 뒷골목을 헤메고 다녀도~
-
으흐흐
-
연애 기원
-
기출을 한번 풀면 다시 풀 때는 안틀리는데 똑같은 문제를 변형해서 내면 못풂 이거...
-
제발 수능때도
-
국장 질문.. 7
제가 반수생이라 학점이 진짜 조져놨는데요.. 제가 내년에 학교를 바꿔서 신입생으로...
-
한번 풀면 시간차 두고 풀어도 22 30급 아니면 다시 풀 때 그냥 바로 풀리지 않음?
-
수학 n제 0
6모 미적 73 n제는 엔티켓 시즌1 빅포텐 12 풀고 하사십1 풀때마다 대가리...
-
서울 한복판 특히 시가지 내에서 시속 100 정도로 역주행 차량은 제네시스 G80...
-
운이 좋았다
-
모두 화이팅!!
-
선착순 1명 28
제 생일을 가장 먼저 맞추는 오뿌이에게 천덕
-
나기출vs자이 0
제가 늦게 수능 뛰어들어서 당장 국어 기출 사서 풀랴고 하는데 문학 독서 나기출이...
-
6모 ㅇㅈ 2
재수하게 생김 ㅠㅠ
-
태그 아무것도 안눌렀는데 저거 다 눌려있길래 다 취소함 이 글 쓸 때 보니까 없네
-
나 전엔 뻘글 어케 썼지 ㅠㅠ
-
술식 on 0
술식 : 불면증 효과 : 발동 시 사용자의 의지와 관계없이 잠이 오지 않음 한번...
-
팬은 아니지만 강강약약 기아 좀 매력있네 꼴데에겐 한없이 다 퍼주시더니 강팀만 만나면 ㄷㄷ
-
저도 덕코주세요 0
-
이벙 6평은 딱 2컷점수 받음 걍 불후의명강 스피드로 ㄱㄱ?
-
백분위 98인데 미적보다 훨 낮네 이번 미적 표점이 높은건가
-
언매 확통
-
전 롯데팬분들이 6
정말 괘씸하다 느껴요 겨우 30년 무관이면서 어째서 우승을 원하시는지 어느 영국...
-
사회문화 질문 1
대학교 총동문회는 공식조직이면서 자발적결사체인걸로 아는데 대학교 총동문회는...
-
슬픈 ㅇㅈ 7
수시러라 세특 쓰다가 그냥 갑자기 올려 봅니다
-
9모날 신검 2
신검 미룰 수 있나요? 우편왔는데 9월4일 이길래 설마했는데 9월모의고사라 진짜 석나가네요..
-
덕코주세여 5
덕코내놔
-
사범대 입결 계속 떨어지는데 나중에 막 4등급 3등급이 사범대 가면 잘 가르칠 수 있나
-
해설이랑 문제집분권된거사고싶은데 패스파인더교재 해설이랑 문제 분권되나요??
-
sec(x) 8
너무 야한듯
-
어디 라인인가요!! 교차할생각도매우매우 있어요 (로스쿨가고싶) 학교라인 어느정도인지 알려주세요! ㅠ
-
96 98 2(84점) 89 98 안되겠죠...물리...
-
?
-
오늘은 독서론입니다, 3문제이고 상당히 평이합니다 보상(가장 먼저 맞히신 분께 각...
-
재수 왜 했지 4
이따구로받을거면..
-
자신 없긴해 17
건대를 탈출하지 않을 자신이 없다고 ㅋㅋ
사소한 질문인데요, 저 문제는 가형, 나형 중 어디서 나왔나요?
가/나형 공통출제 였습니다.
따라서 이렇게 푸는 것은 당연히 출제의도에 빗나갑니다. 나형 학생들은 이렇게 풀 수가 없으니까요.
하지만 '엄밀하게' 서술하는 연습을 중점에 두고 쓴 글이기 때문에 의의가 있다고 생각합니다.
사소한 지적 하나 하자면, '이를 조금 더 엄밀하게 증명하기 위해서 극한의 가장 기본적인 판정법인 비교 판정법을 통해 확인해보려고 했습니다.'라는 문장에서 '비교 판정법(Comparison Test)'은 무한급수의 수렴을 판정하는 방법입니다. t/e^t의 극한값을 구하는데 사용된 방법은 '샌드위치 정리(Sandwich Theorem)'고요. 그것만 제외하면 잘 쓴 글인 것 같네요. 본받고 싶어요. ㅋㅋ 다음 글 기대하겠습니다!
아.....제가 혼동했나 보네요 ㅠㅠ...지적 감사합니다!
글에 오류가 있어 이를 수정했습니다. 저 극한을 따질 필요가 없었는데 잘못 생각해서 따져버렸네요.....
이 글을 읽고 잘못 받아들이셨다면 이를 바로잡으려고합니다.
오 ㅋㅋ 이런글 좋아요 !!