수학 칼럼(7) - 삼각함수 대칭성(수학1)-6월 모평 대비 어썸&랑데뷰 모의고사 탑재
2021학년도 6평대비 어썸-랑데뷰 가형.pdf
2021학년도 6평대비 어썸-랑데뷰 나형.pdf
우선 6월 모의평가 대비 배포 모의고사를 존경하는 이투스 정현경 선생님과 함께 제작하였습니다.
6평 대비 어썸&랑데뷰 모의고사 가,나형입니다.
어려운 3점 및 4점 문항들은 기출문항 변형으로만 구성하였습니다.
그동안 기출을 얼마나 열심히 풀어왔고 분석하였는지 파악할 수 있는지 테스트해 본다는 의미로 시험 쳐 보시길 바랍니다. 물론 6평 대비로도...가형 30번은 6평 범위에 살짝 벗어났지만 중요한 문항이라 배치해 뒀습니다.
어썸 수학 정현경 선생님께 감사함을 전합니다.
그럼 칼럼 시작하겠습니다. 말로 풀어서 설명하면 간단하고 쉬울건데 글로 적어보니 복잡해 보이네요.
코로나19로 인해 2020년 4월에 치러야 할 4월 경기도 교육청 모의고사가 5월 21일 치러졌었죠.
그 시험
2020년 4월 교육청 가형 21번에 관한 이야기를 진행해 보겠습니다.
우선 다음 문제를 보겠습니다.
수학1 문제가 아닌데?
그럼 미적분 문제인가?
풀이를 다음과 같이 한다면 미적분 문제라고도 볼 수 없습니다. [곱을 합차로 고치는 공식이용]
그런데 저는 수학1 과정으로 충분히 풀수 있다고 생각합니다. (n등분한 모든 코사인 합은 0이다는 조건이 있어야 겠네요. 착가하였습니다.ㅜ 벡터의 합이나 합차를 곱으로 고치는 공식을 이용하면 증명할 수 있습니다. 수1과정으로는 홀수 등분일 때가...우선 그렇게 조건을 달겠습니다.)
삼각함수 정의에서 cosΘ, sinΘ는 알고 있습니다. 그것을 단위원의 점에서 x축 까지 거리, y축까지 거리로 생각하겠습니다. Θ의 크기에 따라 양,음은 따지고요.
원주를 n등분한 점을 원주위에 나타낼 때, n의 값이 커질 수록 n등분 하기 어려워 점을 나타내기 곤란합니다.
그래서 그 점을 나타내는 방법부터 체계화 해 보겠습니다.
n이 홀수 일 때와 n이 짝수일 때 원주 위에 점을 찍는 방법은 다음과 같습니다.
n이 홀수 일 때
위에 예를 든 17등분 점들을 직접 그려 보시길 바랍니다.
n이 짝수일 때
위에 예를 든 18등분 점들을 직접 그려보시길 바랍니다.
그럼 각 점들의 대칭성을 이렇게 파악할 수 있습니다.
특히 n이 짝수일 때는 다시 두가지 상황으로 나뉜다는 거...기억하도록 해요.
이런 성질을 이용하면 cos에 관한 다음 덧셈식이 성립함을 알 수 있습니다.
밑에 =1 오타 입니다. =0
위에서 언급했듯이 모든 n등분 된 코사인 합은 0입니다.
sin은 별 의미가 없겠죠...항상 x축 대칭이니 전체합은 0
일부의 합은 계산 불가
이 성질을 이용하면
cos(0)+cos(2pi/3)+cos(4pi/3)=0
cos(0)+cos(2pi/4)+cos(4pi/4)+cos(6pi/4)=0
cos(0)+cos(2pi/5)+cos(4pi/5)+cos(6pi/5)+cos(8pi/5)=0
cos(0)+cos(2pi/6)+cos(4pi/6)+cos(6pi/6)+cos(8pi/6)+cos(10pi/6)=0
뿐만 아니라
cos(2pi/5)+cos(4pi/5)=-1/2
cos(6pi/5)+cos(8pi/5)=-1/2
cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7)=-1/2
cos(8pi/7)+cos(10pi/5)+cos(12pi/7)=-1/2
이 성립함을 알 수 있습니다. n이 짝수일 때는 합이 모조리 0이라서 언급하지 않겠습니다.
그림 글 첫부분에 나온 문제의 풀이는?
여기도 오타네요. 첫줄 =0
입니다.
대칭성 성질만 잘 파악하면 쉬운 문제입니다!!
그럼 문제의 그 문제...4월 학평 21번
이 문제는 sin에 대한 얘기였습니다. 그래서 sin+sin+sin+...은 의미가 없어서 개수에 관한 문제가 되었다 봅니다.
대칭성만 잘 파악한다면 다음과 같이 풀 수 있겠습니다.
ㄱ. 참
ㄴ. (0,1)이 sin값에 포함 되므로 k가 짝수 중 4의 배수인 경우이다. 위 설명의 (3)-②의 특히부부-㉠
따라서 두 자리수 4의 배수는 22개
ㄷ.
n이 홀수 일 때는 n등분한 점들이
y축에 비대칭, x축에 대칭이고 sin은 각 점에서 x축 까지 거리이므로
x축 위쪽에 5개, x축에 1개 (1,0), x축 아래쪽에 5개 로 총 11개
따라서 n=11
n이 짝수 중 4의 배수일 때는 n등분한 점들이
y축에 대칭, x축에 대칭이고 sin은 각 점에서 x축 까지 거리이고
(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)이 점에 포함되어 있으므로
x축 위쪽에 9개, x축에 2개 (1,0), x축 아래쪽에 9개 로 총 20개
따라서 n=20
n이 짝수 중 4의 배수가 아닐 때는 n등분한 점들이
y축에 대칭, x축에 대칭이고 sin은 각 점에서 x축 까지 거리이고
(1,0) (-1,0), 이 점에 포함되어 있으므로
x축 위쪽에 10개, x축에 2개 (1,0), x축 아래쪽에 10개 로 총 22개
따라서 n=22
이다. 따라서 합은 53(거짓)
이 문제에 대한 변형 문제 Quiz로 내면서 마무리 하겠습니다.
저는 랑데뷰 수학 황보백 선생입니다.
0 XDK (+10)
-
10
-
걍 개적폐임 왜있는지도 모르겠는 전형 1순위
-
나 진짜 대학가나 행복하네요
-
-
글리젠 왜이래 1
이사람들 다 어디감
-
대학교 동아리 0
중간공 다니는데 굳이 취업 위한 동아리 말고 보드게임 동아리 같은 거 들어가도 괜츈?
-
-
인강민철 0
-
요? 등록하고 바로 군휴학 하는거요
-
https://orbi.kr/00070784876/
-
뉴진스 4
메리크리스마스
-
ㄹㅇ
-
기분 좋아졌다 3
안경점 사장님이 내가 얼굴이 컸으면 안경테 작기 쉬운데 작아서 딱 맞는 걸...
-
수시 1
두개 붙어서 두개 등록한다음에 1시간 후에 나머지 대학 취소했는데 이중등록임?
-
진학사도 허위표본 있나
-
유리하게 적용될 케이스인가요 불리할까요..???
-
안녕하세요, 저는 2024년에 무휴학 반수를 하고 약대에 합격한 N수생입니다....
-
조건 오댕 프사 or 제가 보기에 성의 있는 댓글(엿장수 맘대로)
-
근데 공군 한능검 가산점 폐지되면 그만큼 컷이 내려감? 6
아니면 헌급방 안하면 못가는데..
-
왜클릭
-
실시간 이원준 4
그러함
-
-
학원마다 책상 옆에 책 넣어둘수있는 공간 있잖아요 서랍? 그런곳 근데 자꾸 거기...
-
씻으러
-
오늘 업뎃 안하나요…..?
-
예엠병들 한다 시팔
-
저랑 동생한테 투자를 하시느라고 꽤 옛날에 구매하신 옷들을 아직도 입고...
-
나가는 중 0
사람왤케많아
-
받을 수 있는곳이 있나 하,..
-
4 10 7 1 순서로 빠졌는데 6번짼데 가능성 있으려나 남은거 이거 하나라 안되면...
-
ㄹㅇ임? 어디서 하는데? 나 연락할 애가 없어서 너무 심심하다 ㅜ
-
지사의 질문있는데 12
고조완관건제중 하나인데 여기 의대는 마이너과 못가나요?
-
나 생일임 19
-
의사=공공재 ㄷㄷㄷㄷㄷ
-
ㅇㅇ
-
알겠어 기하하면되잖아. 확통사탐 안한다고.
-
개인적으로 좋아해요
-
둘다 가격은 같음
-
국어 수학 과외 5
보통 커리가 어케 되나요 책은 쌤이 정하는 건가요
-
수학 좋아합니다.어디가 낫나요
-
아 재밌어 5
방학이 이래서 좋지. 애니 정주행 캬
-
강남갈까 대치갈까
-
의평원 자켜보고 전적대로 돌아갈려하는데 근데 하..약대로 돌아가기 너무 싫은데 그냥 지금 자퇴할까
-
현우진 시발점 12
시발점 할때 시발점 워크북하고 쎈이나 rpm같은 유형서 필수인가요? 아니면 워크북만...
-
원회에 의해 제삭된 물시게입니다
-
크리스마스 이브 감성도 무뎌질까?
-
경희대학교 유전생명공학과 25학번 단톡방 안내 안녕하세요 유전생명공학과...
-
이거 무조건 되나여??
-
오늘 폭식함 2
아이스크림 돈가스 콜라까지
-
3합 5.5면 장학 아예 없나요 ... 하
-
진학사 2
6시에 업뎃한다면서 30분 미뤘네 짜증나게....
감사합니다.
와 정말 감사합니다!
감사합니다.
오타 있어서 수정했습니다. 그리고 cos합이 0이 되는 부분에 대해 당연하다 생각하고 있는 상태에서 글을 써 내려갔네요. 그 부분에 대해서도 글을 추가했습니다.
다음 부터는 좀 더 꼼꼼히 생각해 보고 글 작성토록 하겠습니다.
사진은 수정이 힘들어서 바로 위에 글남겼습니다.
역시 멋진 글입니다.^^