log a b 에서 왜 a>0, a≠1이어야 할까? & 근과 계수의 관계를 어떻게 유도할까?
이제, 조금 제대로 해볼 작정이에요.
왜 누구는 생각을 더 잘하고, 누구는 생각을 전혀 못하고 막 공부를 하게 될까요?
공교육과 사교육 모두, 이해가 안된다는 아이들의 말을 그렇게 귀기울이지 않았습니다.
매우 기본적인 생각만 할 수 있다면, 그것을 연결지으면서 해석할 수 있지 않을까요?
그 방법론을 제시하고 싶습니다. 잘 할 수 있을까요.. 모르겠습니다. 열심히할게요.
이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다.
공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499
공부의양은 생각의 양과 같고, 생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
공신 방송 다녀온 후기 & 수학 칼럼 연재합니다. http://orbi.kr/00010768917
가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675
이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? :
http://orbi.kr/00010789384
평행이동 해설 & 어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까? : http://orbi.kr/00010841663
곡선 위의 점의 접선 해설 & y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? : http://orbi.kr/00010980265
y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? & 유리화는 왜하는걸까? : http://orbi.kr/00011115763
유리화는 왜하는걸까? & 판별식이 음수일때 왜 이차방정식은 항상 0보다 클까? : http://orbi.kr/00011420287
저번 칼럼은 이거였습니다!
판별식이 음수일때 왜 이차방정식은 항상 0보다 클까? & log a b 에서 a>0, a≠1이어야 할까?
http://orbi.kr/00011521076
정답 갑니다.
이제 우리는 로그가 왜 생겨났는지 생각해봅시다.
2의 1승은 2, 2의 2승은 4.. 그런데 2의 몇승을 하면 3이 될까?
그놈의 생각을 얼마나 많이해야할까요?
전 잘 모르겠습니다. 다만, 충분히 많이 해야한다고 생각해요.
그리고 그제서야 비로소 그저 문제푸는 것이 아닌, 진짜 실력을 기르게 되는 것이라 생각합니다.
그 생각은 어디서 나올까요? 제가 몇번이고 말했지만 저는
생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
라고 생각합니다.
그러면 다음 질문 갑니다.
물론 교과서에는 증명 방법이 나와있습니다. 근의 공식을 이용한 증명이었죠.
하지만 우리는 좀더 생각을 하기위해 다음의 것들을 더 생각해봅시다.
대수학의 기본정리 : 대수방정식의 근의 존재에 관한 정리로 n차의 대수방정식은 n개의 근을 갖는다.
방정식의 근 : f(x)=0 을 만족시키는 x값을 방정식의 근이라 한다.
항등식의 계수비교법 : n차인 두 다항식이 항등식이 될 조건은, 같은 차수의 항의 계수가 각각 서로 같다는 것이다’라는 항등식의 성질을 이용하여 미정계수를 정하는 방법이다.
대수학의 기본정리는 처음이죠? 그렇다면 추가적으로 하나만 더 생각해볼까요?
우리는 허수를 왜 배울까요?
물론 그래프로 나타낼 수 있는 범위가 실수이기 때문이기도 하겠지만..
우리는 무엇을 알아내기 위해서 허수를 배웠을까요?
저는 무엇을 하기위해서 이걸 할까요? ㅋ..
잘 모르겠습니다. 다만 생각이 공부의 기본이라 생각해요.
연결짓고 물음을 갖고, 답을 낸다면 그것만으로 충분히 어려운 공식 외우는것보다 더 값진것이 될거라 생각해요.
답은 다음에 갖고오도록 하겠습니다!
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방정식에서 실근이 아닌 근을 구하기 위해서
네 맞아요 허수는 x^2+1=0에서의 근을 구하기위해서 쓰였죠.
근데 굳이 왜 그렇게까지 근을 구해야하나요? 왜때문에?
실수의 허구성을 가르치기 위해서?
으어... 어렵네요..ㄷㄷ 실수의 허구성이라..!
보통 학생들은, 허수라는 것을 가르치면 에이 이런게 어디있어 라는 식으로 반응을 합니다
허수는 가짜 수라는 거죠
헌데 그럼, 실수는 진짜 수일까요?
곰곰이 따져 보면 결국 너나 나나 인간 머릿속에서만 굴러다니는 개념일 뿐일 텐데요
이걸 받아들이고 나면 수학을 보는 시각이 바뀌죠
모순만 없으면 정의해도 되는구나(그런 점에서 삼원수는 존재하지 않죠). 수학이 생각보다 자유로운 학문이었구나
교육과정에 굳이 허수를 넣어둔 이유는 그것을 노린 것인지도 모르겠습니다. 수능 풀 때 하등 쓸모도 없는데요.
음.... 저는 다르게 생각합니다.
허수는 꽤나 쓸모있어요!
음... 기출 중에 허수 개념이 필요한(또는 도움되는) 문제가 있었던가요?
개념중에 허수개념으로 이해하는데 도움되는 애들이 있어요.
이렇게 접근하니까 수학이 엄청 흥미롭게 느껴지네요. 저런 시각으로 바라보는 습관을 길러야겠어요ㅎㅎ
제 링크를 타고가보시면 꽤 좋은 생각들 많아여!
고등학교 때까지는 허수는 대소비교가 안 된다고 사기를 당했다. 통계에서는 수 많은 것들이 개소리였다.
아마 복소 평면에서 원점사이의 거리이려나요..?
근데 일단 1과 i는 크기비교할 수 없죠.
기본적으로 고등 교과에서 배우는것은 실수좌표계구요.
허수는 이차방정식의 근을 구하기 위해 도입되었다고 알고 있는데 그 이상의 의미란게... 결국은 대수학의 기본정리(n차방정식은 n개의 해를 갖는다)를 만족시키기 위해 도입된게 아닐까요?
그리고 근과 계수의 관계는 근의 공식으로 해결하시는 분들이 많은데 그러면 안되는 이유가 만약 이차방정식의 계수가 복소수일 경우 루트 안의 수가 허수가 들어갈 경우 근과 계수의 관계를 정의할 수가 없어요. 그러나 근과 계수의 관계를 인수정리로 a(x-p)(x-q)=ax^2+bx+c꼴로 나타내어 b와 c를 구하면 계수가 복소수여도 근과 계수의 관계를 정의할 수 있죠
교과서에서는 근의공식으로 해결하게 됩니다.
이게 왜냐하면, 애초에 인수정리로 a(x-p)(x-q)=ax^2+bx+c
이런 논리를 설명하기 힘들기때문입니다.
그 논리를 설명할 수 있으면 가능하겠죠
그러나 그런 식으로 근과 계수의 관계를 증명하면 어떤 부분에서 모순이 생기긴하는데......교과서에는 b^2-4ac가 복소수인 경우는 안 다루나요?
네.
그리고 정말 정답입니다.. 놀랍습니다.
질문 하나 해도될까요? 다항함수가 위아래 있는 분수를 미분할때 양변에 ln을 취해서 미분을 쉽게 하잖아요 (제말 이해 못하실것같아요..ㅜ) 그때는 ln안에 정의역을 생각안해줘도 되나요?
그때또한 로그의 정의에 따라 생각하셔야합니다.
어렵다 어려워 생각을 해봐야 겠어요 감사합니다
생각을 많이하시면 실력도 는답니다~!
항상 칼럼 읽으면서 좋은 생각거리 던져주셔서 감사하게생각하고있습니다!
니니.. 아녀요..ㅎㅎ
선배님!
ㅂㄷ.. ㅎㅇㅎㅇ
질문의중요성 강조해주셔서감사합니다 ㅠㅠ
ㅎㅅㅎ..
올 멋져영 행님
누구시져..ㅎㅎ
수학좀 잘하려면 어케해야댈까요... ㅜ
결국 개념과 개념의 관계를 찾고 이어주면됩니다.
생각 많이 하셔야해요!!
앗 심오하네요 글이ㅜㅜ
ㅠㅠㅠ... 더 쉽게 쓰고싶었는데 ㅠㅠㅠ
다음에는 좀더 쉽게 쓸게요!!
와 제목만 보고 좀만 생각하면 당연한 걸 왜 게시하셨지 했는데 내용보고 감동받았어요!
감사합니다..!!!
생각과 고민이 반드시 필요합니다.
다만 생각과 고민이 어떻게 이루어지는지는 잘 모르는경우가 대부분이죠.
예전부터 제 수업에서 이것을 유도해왔고 이제는 글로써 시도해보려고 해요.
한번 많은 시도를 해보겠습니다 감사합니다!