미분에 대하여
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점 를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
야미야미 물2 퀄모 풀어보신분들은 어떠셨나요
-
삼차함수개형추론이21번인가능세계
-
5모 31421인데 독서는 한개틀리고 문학 두지문 시간 부족해서 못풂 국어영어 인강 ㅊㅊ좀
-
고1 중간고사 0
성적 3.6나왔는데 어떡하죠 고려대 목표했었는데 지방 일반고 스카이 1년에 4명정도 보내요..
-
음 어제 글 올렸었는데 수정 전 파일을 올려서.. 그냥 다시 올린다...ㅎ 군대에...
-
지구과학이랑 비빔
-
힘들다..
-
어떻게 대처하실건가요?? 다음과목까지 영향을 미치지 않도록하는 방법들이 궁금합니다.
-
지구과학은 4
열심히 공부한만큼 성적 나오나요?
-
어차피 탈출하면 그만 아닌것인가
-
인스타도 본계 380명인데 비계 찐친 12명 있는거만 쓰고(초중고 누적된 애들)...
-
낙지 기준 655정도 쓰나
-
물린줄 알고 갸같이 갔다가 세특인 거 보고 식겁함
-
직선 긋는 거도 1
많이 그려보면 삐뚤빼뚤하게 안 그리고 한 번에 곧게 딱 그을 수 있을까요..?...
-
삼각함수 그래프 진짜 토나오게 역겹네 격자점 다음으로 빡치는유형 1
잘하는사람 부럽노
-
왜 다들 멀리사는거야..
-
06인데 공부를 늦게 시작해서 조급한 마음에 유형서 안풀고 바로 기출 풀었거든 근데...
-
국어 3시간 수학 3시간 하니까 하루가 끝나는데... 흑흑 지구는 개념도 덜들었는데...
-
초상집에 티배깅하노 ㅋㅋ 또라이노 ㅋㅋ
-
선지에서 장난질 치는거 같던데 물론 글감 난이도도 어렵구 최근 비문학이 선지장난을...
-
ㅈㄱㄴ
-
이거는 공부 안한거 아님? 수정 사탐 사탐 사탐입니다 !!! ㅜㅜ 아니 그냥 제가...
-
찍고싶어서 광광
-
sky는 이득 서성한은 불이익 없는 정도 그 이하는 불이익 있고 제한이 생김(특히...
-
지하철에서 2
오르비하기 vs 디시하기
-
닭강정먹다가 4
사레들어서 길 한복판에서 거의 토하기 직전까지 기침함
-
국어 : 백분위98이하 맞아본적 없음 -> 수능 3등급 수학 : 2등급 밑으로...
-
그냥 기계적으로 비례관계 딱딱 뽑아내면 문제는 다 맞추겠는데 그 비례관계 속에...
-
현강수업 들었던 옯붕이임. 작년에 가끔씩 올라오는 칼럼을 보다가, 열정적인 사람인거...
-
그냥 가볍게 꽁돈 벌어볼라고 지원서 넣었는데 심히 당황스럽네...;; 안하는게...
-
댓글로 또 경북대야? 경북대? 이러는거 밈임? 아님 진지하게 학교 이미지...
-
과탐 3등급이 돌린다고 1등급 안됩니다 ㄹㅇ
-
병신정부 3
ㄹㅇ
-
ㄷㄷ
-
다까먹은거 ㄹㅈㄷ 맞은것도 다틀리네 하...
-
광광
-
아늑하고 좋네요 과제하고 집가야지
-
바로 스텝 1 ㄱㄱ?
-
오운완 7
며칠만에 운동하러 갔더니 힘드네요
-
이천공 투명하다 투명해~~
-
아 정신없네 0
햇갈려
-
집도착 3
방전 사흘간 몸을너무많이썼다
-
선지에는 나오는 유형이 형식적 수단적 인간관계가 지배적으로 나타나는가 - 답지 :...
-
ㅇㅇ
-
왜? 벌써? 아니 그보다 6모는 왜? 15일남았네?
-
보통 최대공약수라고 하면 자연수 범위에서 쓰잖아요..? gcd(12,16)=4...
-
아싸의 장점 3
미팅, 밥약, 축제, 행사 일절 안나가서 지출은 동일 나이대에 비해 극히 적은 대신...
-
언미사사 인데도 이정도인데 언미과과 리스펙
-
오르비 진짜 여촌가.. 36
친해진 사람마다 왜 다 여자임..?
-
변싼채로 발견... 전공과목 스트레스로 평소 오르비라는 악성 커뮤니티를 즐겼던 것으로 밝혀져...